ПРАВИЛА КИРХГОФА

Для расчета сил токов в различных участках сложных разветвленных цепей (например, мостика Уитстона, рис. 111.32) по заданным сопротивлениям этих участков и э. д. с. источников тока пользуются правилами Кирхгофа. Эти правила можно вывести на основе закона сохранения заряда и законов Ома (см. формулы (2.24) и (2.12)). Предполагается, что токи в цепи — установившиеся, т. е. силы токов, сопротивления и разности потенциалов в различных участках цепи с течением времени не изменяются. Окружим какую-нибудь точку разветвления, например А у замкнутой поверхностью (сферой); тогда для постоянства потенциала точки А необходимо, чтобы количество электричества, ежесекундно вносимое в эту сферу через одни проводники, было равно количеству электричества, выходящего из этой области по другим проводникам за то же время:

алгебраическая сумма сил токов должна равняться нулю, (первое правило Кирхгофа):

Рис. III.32

Это утверждение, очевидно, применимо для любой точки цепи с постоянными токами; если в цепи имеется точек разветвления, то, применяя условие (2.28), можно написать уравнений. В частности, в мостике (см. рис. 111.32) имеется четыре точки разветвления, однако число неизвестных величин — сил токов — шесть. Поэтому для нахождения этих величин необходимо составить еще два уравнения.

Для использования законов Ома выберем в цепи какую-нибудь замкнутую совокупность проводников, например в которой нет источника тока; напишем для нее очевидное тождество:

потенциалы начальных и конечных точек отдельных участков контура. На основании закона Ома, для каждого из участков цепи Однако следует учесть, что в этой записи предполагается движение положительных зарядов от первой точки ко второй, т. е. от большего потенциала к меньшему Если же мы будем вычитать из меньшего потенциала больший, то сила тока получится отрицательной, т. е. Учитывая это обстоятельство,

заменим разности потенциалов в выражении (2.29) через произведения сил токов на соответствующие сопротивления. Так как то

Тогда выражение (2.29) перепишется в виде

т. е. алгебраическая сумма падений напряжения в замкнутом контуре, не содержащем источника тока, равна нулю:

Рассмотрим теперь замкнутый контур, содержащий источник тока, например Напишем опять очевидное тождество:

Согласно изложенному выше . Допустим, тогда Для определения разности потенциалов между полюсами источника тока воспользуемся определением электродвижущей силы [см. формулу (2.22)], откуда

Здесь предполагается, что внутри источника положительные заряды движутся от точки с меньшим потенциалом к точке с большим потенциалом Так как в нашем случае то

Подставим в выражение (2.30) найденные значения разностей потенциалов:

Полученный результат означает, что в замкнутом контуре, содержащем источник тока, алгебраическая сумма падений напряжений равна э. д. с. источника тока.

Применяя те же рассуждения для более общего случая, когда в контуре имеется несколько источников тока и они по-разному включены, можно получить следующий результат:

алгебраическая сумма падений напряжения в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. источников тока, находящихся в этом контуре (второе правило Кирхгофа).

При применении этого правила обычно выбирается какое-нибудь направление обхода и соблюдается следующее условие знаков:

1) если токи текут по направлению обхода, то соответствующие произведения берут со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус;

2) если линия обхода направлена внутри источника тока от отрицательного полюса к положительному, то его э. д. с. берется со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.

При расчете сложных цепей чаще всего задаются только сопротивления отдельных участков и э. д. с. источников тока; направления и силы токов требуется определить. Для этого предварительно намечаются направления токов и решается система уравнений:

Если после расчета силы токов в каких-нибудь участках получаются отрицательными, то это означает, что направление токов в этих участках обратно намеченному до расчета.