9. Следствия формулы Коши.

Пусть функция, регулярная в замкнутой области В с контуром l или регулярная внутри области и непрерывная в замкнутой области. Рассмотрим регулярную функцию где — некоторое целое положительное число, и применим к этой функции формулу Коши:

Пусть М — максимум модуля на контуре и обозначим через b минимум модуля т. е. наименьшее расстояние точки z от контура

Применяя обычные оценки, будем иметь

где S — длина контура l. Предыдущее неравенство можно переписать так:

При стремлении целого положительного числа к бесконечности получаем в пределе неравенство

т. е. если функция, регулярная в области и непрерывная в замкнутой области, то максимум ее модуля достигается на контуре, т. е. ее модуль в любой внутренней точке области не больше, чем максимум ее модуля на контуре.

Можно показать, что в формуле (44) может иметь место знак равенства только в том случае, когда есть постоянная. Доказанное выше свойство называется обычно принципом модуля.

Перейдем теперь ко второму следствию из формулы Коши. Функция или полином от z дают примеры функций, регулярных на всей плоскости. Покажем, что такие функции не могут быть ограничены по модулю, за исключением того неинтересного случая, когда есть постоянная величина. Иными словами, имеет место следующая теорема, которая называется обычно теоремой Лиувилля: если регулярна на всей плоскости и ограничена, т. е. существует такое положительное число N, что при всяком

то есть постоянная.

Применим формулу Коши для

Так как регулярна на всей плоскости, то за контур l мы можем взять любой контур, содержащий z внутри себя. Возьмем за l окружность с центром z и некоторым радиусом который мы ватем будем беспредельно увеличивать. Мы имеем, очевидно,

и, следовательно,

Принимая во внимание (45), получаем следующую оценку:

Левая часть этого неравенства не зависит от выбора а правая стремится к нулю при беспредельном возрастании R. Отсюда непосредственно следует, что и, следовательно, есть постоянная [6].

В связи с теоремой Лиувилля отметим, что функция регулярная на всей плоскости, остается ограниченной при вещественном z, но, например, при чисто мнимых значениях она равна откуда видно, что она стремится к бесконечности при .

Пользуясь теоремой Лиувилля, нетрудно доказать основную теорему алгебры: всякий полином

имеет крайней мере один корень. Доказываем от противного. Предположим, что написанный полином не имеет ни одного корня, т. е. не обращается в нуль на всей плоскости z. Составляем функцию

регулярную по предположению на всей плоскости. При как видно из ее выражения, она стремится к нулю, и, следовательно, существует такое что при а в круге она, как непрерывная функция, ограничена, т. е. при где М — определенное число. Следовательно, регулярная на всей плоскости функция ограничена, и, следовательно, по теореме Лиувилля, есть постоянная. Из при следует, что эта постоянная равна нулю, т. е. а это противоречит тому, что есть частное от деления единицы на полином.