55. Отражение упругих волн от прямолинейной границы.

В случае плоской задачи теории упругости составляющие смещения и и v могут быть выражены с помощью формул

где функция называется обычно потенциалом продольных волн, а функция потенциалом поперечных волн. Эти потенциалы должны удовлетворять волновым уравнениям вида

где

причем есть плотность среды, — упругие постоянные . Числа и дают, как известно из теории упругости, скорость распространения продольной и поперечной волн, и формула (195) представляет собою разбиение возмущения общего типа на возмущения продольного и поперечного типа.

Приведем еще формулы, которые выражают напряжение в нашем упругом теле через потенциалы. Мы будем рассматривать лишь вектор напряжения, действующего на площадку, перпендикулярную к оси Y. Составляющие этого вектора выражаются по следующим формулам:

После этих предварительных сведений перейдем к постановке задачи. Положим, что в момент времени из точки

распространяется возмущение чисто продольного типа, которое характеризуется некоторым потенциалом удовлетворяющим уравнению (196), причем этот потенциал представляет собою однородное решение уравнения относительно аргументов т. е. он определяется как вещественная часть некоторой аналитической функции

где комплексная переменная определяется из уравнения

Последнее уравнение отличается от уравнения (177) лишь заменою на Это соответствует тому факту, что потенциал (200) соответствует некоторой силе, сосредоточенной в момент в точке Мы не будем останавливаться подробнее на выяснении этого обстоятельства с точки зрения механической характеристики источника, определяемого формулой (200).

Будем считать, что заданная функция , входящая в формулу (200), регулярна на плоскости с разрезом кроме бесконечно далекой точки, и что ее вещественная часть обращается в нуль на разрезе. Последнее обстоятельство соответствует тому факту, что заданный потенциал обращается в нуль на поверхности конического пучка с вершиной и с углом — при вершине. Эта поверхность соответствует фронту распространяющегося возмущения. Мы считаем, конечно, потенциал равным нулю и везде вне конического пучка. Положим, что имеем не всю плоскость, где распространяется возмущение, но лишь полуплоскость внутри которой находится центр возмущения Потенциал будет вполне определять движение лишь в промежуток времени . В момент времени фронт возмущения дойдет до линии которая является границей нашей среды, и появятся отраженные волны, причем закон отражения должен получиться из предельных условий, которые имеют место на этой границе. Мы будем предполагать, что эта граница свободна от напряжений, и в дальнейшем напишем соответствующие предельные условия, приравнивая нулю выражения (199) при

В результате отражения мы должны будем присоединить к заданному потенциалу еще два потенциала: один — отраженный продольный потенциал а другой — отраженный поперечный потенциал Будем считать, что оба эти потенциала выражаются как вещественные части некоторых аналитических функций комплексных переменных

Нам надо найти как уравнения, определяющие эти комплексные переменные , так и вид аналитических функций по заданному падающему потенциалу и по предельным условиям. Упомянутые комплексные переменные в соответствии со сказанным в [53], а также с тем обстоятельством, что волновое уравнение для поперечного потенциала содержит не постоянную постоянную будут определяться из уравнений вида

и нам надо прежде всего выбрать вид функций и знаки у радикалов, причем значения радикалов на плоскости с разрезом определяются всегда так, как это было указано в [53].

Обратимся к коническому пучку лучей, соответствующему уравнению (201) и имеющему вершину в точке . В данном случае разность играет роль буквы у, если мы сравним наше теперешнее рассуждение с рассуждением из [53]. Плоскость будет делить наш пучок на две части, и та часть пучка, вовсе не встретит границы в пространстве (S) с координатами Другая часть пучка, где встретит эту плоскость, и точки пересечения прямых пучка с этой плоскостью заполнят на этой плоскости область, определяемую неравенством (рис. 53)

Рис. 53.

Это непосредственно следует из того, что уравнение самого пучка в данном случае будет иметь вид

Область (204) представляет собою, очевидно, внутреннюю часть некоторой гиперболы плоскости пространства (S). Как мы видели в [53], той половине конического пучка, которая пересекается с плоскостью и где соответствует верхняя полуплоскость значений комплексного переменного . Кроме того, очевидно, вдоль каждого из наших лучей у уменьшается и t одновременно увеличивается. Выберем в уравнениях (203) знаки у радикалов противоположными знаку радикала в уравнении (201) и, кроме того, функции определим так, чтобы уравнения (205) совпадали с уравнением (201) при Мы получим, таким образом, для новых комплексных переменных уравнения вида

Возьмем некоторую точку в области (204) плоскости лежащей в пространстве (S). В эту точку упадет некоторый луч нашего конического полупучка, соответствующий определенному значению Если подставить координаты точки в уравнения (205) и (206), то для комплексных переменных и получится то же самое значение. Если мы теперь подставим это значение в полные уравнения (205) и (206), то полученные уравнения определят нам два луча, которые мы будем в дальнейшем называть отраженным продольным и отраженным поперечным лучами [все это имеет место в пространстве (S)]. Отметим одно важное обстоятельство, а именно: в силу определенного выбора знаков у радикалов в уравнениях (205) и (206) мы можем утверждать, что вдоль этих отраженных лучей при увеличении также увеличивается, т. е. эти отраженные лучи идут в глубь нашей полуплоскости или, лучше сказать, в глубь полупространства при увеличении времени, т. е. иначе говоря, отраженные волны не меняют ничего в той картине возмущения, которая имела место до отражения. Проверим указанное обстоятельство для уравнения (205).

Сравнивая его с уравнением (201), нетрудно убедиться, что ему соответствует конический пучок с вершиной симметричной с центром возмущения относительно плоскости Принимая во внимание, что знак у радикала в уравнении (205) отличается от знака при радикале уравнения (201), мы можем утверждать, что в данном случае значениям из верхней полуплоскости, которые мы сейчас и будем иметь в результате отражения, соответствуют те лучи, где и причем при увеличении у увеличивается вдоль луча. Аналогичное обстоятельство будет иметь место и для лучей, определяемых уравнением (206), но только в данном случае пучок этих лучей не будет уже коническим. Таким образом, из каждой точки области (204) будут выходить два отраженных луча. Ищем потенциалы отраженных волн согласно формулам (202), т. ею так, чтобы они сохраняли постоянное значение вдоль отраженных лучей. Остается еще выбрать вид функций в формулах (202). Мы рассматриваем, как уже было упомянуто выше, в данном случае предельные условия вида

Для вычисления производных от функций определяемых по формулам (200) и (202), мы можем воспользоваться формулами из [52], заменяя соответствующими коэффициентами из уравнений (201), (205) и (206). Заметим при этом, что для отраженного поперечного потенциала мы должны заменить а на b. При наши комплексные переменные совпадают, и мы можем обозначить их одной и той же буквой . Приходим, таким образом, к условиям следующего вида:

где

Условия (207) должны быть выполнены во всей области (204), т. е. во всей верхней полуплоскости .

Мы получим, очевидно, решение уравнений (207), если определим искомые функции и из уравнений

Можно показать, что эти уравнения не только достаточны, но и необходимы для выполнения условий (207), Решая эти уравнения, получаем выражения для производных искомых функций:

где

Для решения задачи нам и интересны только производные от потенциалов. Согласно формулам (195) будем иметь для смещений следующие формулы:

Если через рассматриваемую точку не проходит падающий или отраженный луч, то в выражениях (210) мы должны вычеркнуть соответствующее слагаемое. Отметим одно важное обстоятельство, а именно: согласно условию вещественная часть равна нулю при . Из формул (208) и очевидного в силу (198) соотношения непосредственно следует, что то же будет иметь место для , так что отраженные потенциалы и также будут постоянными на поверхностях отраженных пучков лучей, и мы можем их считать равными нулю как на этих поверхностях, так и вне пучков.

Если бы мы стали рассматривать источник колебания не продольного, а поперечного типа, то картина получилась бы несколько иной. В этом случае нам был бы задан потенциал поперечных колебаний как вещественная часть некоторой аналитической функции

регулярной на плоскости с разрезом причем комплексная переменная определяется уравнением

и вещественная часть равна нулю при . Мы должны были бы искать отраженные продольные и поперечные потенциалы в виде

где определяются уравнениями

Совершенно так же, как и выше, мы получили бы для функций, входящих в выражения (213), вместо формул (208) следующие:

В данном случае разрез на плоскости , точки которого соответствуют лучам, лежащим на поверхности конического пучка, будет Коэффициенты при в обоих выражениях (216) содержат радикал а потому эти коэффициенты, оставаясь вещественными при уже перестанут быть вещественными при При этом произведение мнимой части коэффициента на мнимую часть даст для вещественную часть, отличную от нуля при

Если мы подставим такое значение в левую часть уравнения (214), то это уравнение после отделения вещественной и мнимой частей распадется на два уравнения:

т. е. для отраженного продольного потенциала эти критические лучи, на которых потенциал будет отличным от нуля, не попадут внутрь среды, а будут идти в плоскости у = 0 (рис. 54).

Рис. 54.

Для отраженного поперечного потенциала отраженный пучок лучей, определяемый уравнением (215), будет просто коническим пучком с вершиной и вдоль тех образующих поверхности этого пучка, которые соответствуют значениям , удовлетворяющим условиям (217), значения отраженного потенциала будут отличны от нуля. В данном случае нам придется, следовательно, продолжить отраженный поперечный потенциал и вне указанного конического пучка тем методом, о котором мы упоминали в [53]. Это обстоятельство имеет простое механическое значение, а именно: поперечные волны, исходящие из источника колебания, падая на границу вызывают отраженные продольные волны, которые, распространяясь вдоль границы быстрее, чем поперечные, вызывают в свою очередь поперечную волну, которая как бы забегает вперед по отношению к отраженной по обычному закону поперечной волне.

Мы ограничиваемся этими краткими указаниями и не останавливаемся на подробном механическом исследовании формул (208) и (216). Заметим только, что знаменатель определяемый уравнением (209), имеет вещественный корень , удовлетворяющий неравенству и наличие этого корня дает то явление, которое обычно называется явлением поверхностных волн.