47. Плоская электростатическая задача.

Обратимся теперь к вопросу о приложении теории функций комплексного переменного к задачам электростатики. Мы здесь встретимся во многом с задачами, аналогичными предыдущим. Прежде всего выясним, в чем состоит плоская электростатическая задача. Как известно, точечный заряд создает в пространстве силовое поле, действующее по закону Кулона, причем интенсивность этого поля выражается общеизвестной формулой

где — расстояние от заряда до той точки , где мы определяем вектор силы. Этот вектор силы имеет направление отрезка, идущего от заряда к точке . Представим теперь себе, что мы имеем заряженную прямую, параллельную оси Z и пересекающую плоскость ХY в некоторой точке О, причем плотность заряда во всех точках прямой одинакова.

Обозначим через величину заряда, рассчитанного на единицу длины. Картина электростатического поля будет одинакова, очевидно, во всех плоскостях, параллельных плоскости XY, так что достаточно рассмотреть лишь саму плоскость XY, причем, опять-таки в силу симметрии, вектор силы будет, очевидно, расположен в самой этой плоскости и будет иметь направление отрезка, идущего от точки О к той точке М плоскости, для которой мы вычисляем силу. Элементарный заряд на отрезке нашей прямой будет выражаться произведением и чтобы получить величину силы в точке М с координатами мы должны вычислить сумму проекций составляющих силы на направление ОМ вышеупомянутого отрезка.

Для величины силы имеем выражение

где точку О мы приняли за начало координат. Предыдущее выражение надо еще помножить на косинус угла образованного направлением NM из переменной точки N оси Z с направлением причем из прямоугольного треугольника ONM имеем

где . Вводя в интеграл

вместо z переменную получим для величины силы выражение

или

Соответствующая потенциальная функция имеет, очевидно, вид

тде - некоторая произвольная постоянная, которую считаем положительной. Таким образом, логарифмический потенциал (112) является в электростатической задаче элементарным потенциалом, происходящим как бы от точечного заряда, если мы отвлечемся от всего пространства и будем рассматривать только плоскость .

Заметим, что этот элементарный потенциал (112) обращается на бесконечности не в нуль, как обычный ньютоновский потенциал трехмерного пространства у, а в бесконечность, что существенным образом отличает электростатические задачи в плоском случае. Если мы имеем заряженной не одну прямую, а некоторый цилиндр, имеющий основание В на плоскости ХУ, то вместо элементарного потенциала (112) будем иметь потенциал, выражающийся двойным интегралом

где плотность — расстояние от переменной точки области В до точки

Аналогично, если заряженной оказывается поверхность некоторого цилиндра, то потенциал выразится криволинейным интегралом. Известно, далее, что функция и, следовательно, функция (112) удовлетворяют уравнению Лапласа [II, 131]

Такому же уравнению удовлетворяет и потенциал (113) вне зарядов, т. е. вне области В.

Но мы можем считать всякую гармоническую функцию вещественной или мнимой частью регулярной функции комплексного переменного. В данном случае будем считать потенциал мнимой частью некоторой регулярной функции

Таким образом, всякая электростатическая картина вне зарядов приводит нас к некоторой регулярной функции (комплексному потенциалу), и наоборот, всякая такая регулярная функция дает некоторую электростатическую картину плоского поля.

В данном случае оба семейства изотермической сетки функции

имеют простое физическое значение. Второе из семейств (115) дает семейство эквипотенциальных линий, а первое семейство, ортогональное ко второму, дает, как хорошо известно, семейство силовых линий, т. е. таких линий, касательные к которым определяют в каждой точке направление действующей силы.

Составляющие вектора силы имеют следующие выражения:

или, в силу уравнений Коши — Римана,

Таким образом, вектору силы соответствует комплексное число

Если мы имеем замкнутый ограниченный проводник, то внутри него, как известно, потенциал сохраняет постоянное значение, и плотность заряда на его поверхности вычисляется, как это доказывается в электростатике, с точностью до знака по формуле

или при помощи комплексного потенциала по формуле

Нетрудно подметить аналогию между всеми этими понятиями и соответствующими понятиями в задаче плоской, гидродинамики.