являются отношением двух целых функций, т. е. будут дробными функциями:
Согласно известным формулам
эти новые функции связаны с функцией Вейерштрасса 
следующими тремя соотношениями:
Исключая из этих соотношений функцию 
получим два соотношения, связывающих новые функции:
Формулы (117) предыдущего номера дают нам при этом
До сих пор комплексные числа 
оставались совершенно произвольными. Существенным было лишь то обстоятельство, чтобы отношение 
находилось в верхней полуплоскости. В теории функций Вейерштрасса эти числа не подчинены никаким дальнейшим ограничениям. В теории функций Якоби число со при заданном 
определяется из того условия, чтобы разность 
была равна единице. Второе из соотношений (123) дает нам при этом число 
:
которое вполне определяется этой формулой при заданном 
, а затем 
определяется формулой 
. Подставляя выражение (124) в соотношения (123), получаем
причем правые части зависят только от 
. Соотношения (122) можно переписать при этом следующим образом:
где для краткости положено
Функции Якоби строятся по одному числу 
, а потому иногда пользуются следующими обозначениями:
Число 
определяемое формулой (127), называется модулем функций Якоби. Введем еще так называемый дополнительный модуль, определяемый формулой
Складывая первое и третье из соотношений (125), получим
Формулы (127) и (128) определяют 
и 
в виде полных квадратов некоторых однозначных функций от 
, и мы можем написать, беря определенные значения радикалов:
Вернемся к формулам (120). Мы можем выразить множители, стоящие направо и не зависящие от v, через k и 
Действительно, согласно (130), имеем
откуда в силу (124) и (116)
и, следовательно, формулы (120) можно переписать в следующем виде:
— любое число из верхней полуплоскости, 
два числа, отношение которых равно 
. Пользуясь этими элементами построения, мы можем построить функции тэта. Определим три новые функции, которые
