137. Задачи Дирихле и Неймана.

Сферические функции применяются в задачах математической физики, связанных с уравнением Лапласа и относящихся к случаю сферы. Для примера рассмотрим задачи Дирихле и Неймана, о которых мы говорили раньше [II, 192], для случая сферы. Требуется определить гармоническую функцию внутри сферы радиуса если заданы ее предельные значения на поверхности этой сферы (внутренняя задача Дирихле). Разложим заданные предельные значения по сферическим функциям:

Составим новый ряд, умножая общий член написанного ряда на где Расстояние переменной точки до центра сферы

Принимая во внимание, что есть гармонический полином, мы видим, что функция (79) будет гармонической внутри сферы и, кроме того, непосредственно ясно, что при ряд (79) обращается в ряд (78), так что эта гармоническая функция удовлетворяет требуемым предельным условиям.

Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле, т. е. положим, что требуется определить функцию, гармоническую вне сферы и равную нулю на бесконечности [II, 192] по ее предельным значениям (78) на поверхности сферы. Принимая во внимание, что суть гармонические функции, не имеющие особенностей вне сферы и равные нулю на бесконечности, мы получаем решение внешней задачи Дирихле в виде

Переходим теперь к решению внутренней задачи Неймана. Положим, что требуется определить внутри сферы гармоническую функцию по значениям ее нормальной производной на поверхности сферы

Мы знаем, что для гармонической функции интеграл от нормальной производной должен обращаться в нуль [II, 194]:

т. е. заданная функция входящая в условие (81), должна обязательно быть такой, что

Вспоминая формулу (57), определяющую сферические функции, получаемые в разложении и принимая во внимание, что есть постоянная при , мы видим, что условие (82) равносильно тому факту, что в разложении по сферическим функциям отсутствуют сферические функции нулевого порядка. Таким образом, в данном случае мы будем иметь

Нетрудно видеть, что решение задачи Неймана будет даваться следующей формулой:

где С — произвольная постоянная.

Действительно, этот ряд определяет гармоническую функцию, и дифференцирование по нормали совпадает в данном случае с дифференцированием по . Нетрудно проверить, что, дифференцируя ряд (84) по и полагая затем мы и получим ряд (83), т. е. будет удовлетворено предельное условие (81). В случае внешней задачи Неймана функция входящая в условие (81), уже не должна удовлетворять условию (82), так что мы имеем для нее разложение общего вида (78). Легко видеть, что при этом решение внешней задачи Неймана представится в виде ряда

причем направление нормали v мы считаем совпадающим с направлением радиуса .

Рассмотрим один специальный случай внешней задачи Неймана. Положим, что сфера радиуса R движется с направленной по оси Z скоростью а в безграничной жидкости, покоящейся на бесконечности. Возьмем движущуюся сферой систему координат, помещая начало координат в центре сферы. При этом нормальная составляющая скорости жидкости на поверхности сферы будет определяться формулой

Предполагая движение жидкости стационарным и с потенциалом скорости, мы будем иметь задачу нахождения функции U по следующим условиям: 1) вне сферы U должно быть гармонической функцией; 2) на бесконечности составляющие скорости, т. е. производные от функции U по координатам, должны обращаться в нуль и 3) на поверхности сферы функция U должна удовлетворять условию

В данном случае или, вспоминая выражение для полиномов Лежандра, имеем

т. е. в данном случае функция представляется одной сферической функцией первого порядка. Решение задачи будет определяться формулой