30. Интегралы типа Коши (продолжение).

Приведем теперь, как и в [26], без доказательства некоторые общие предложения об интегралах типа Коши. В дальнейшем для краткости интеграл в смысле главного значения будем называть особым интегралом. Сформулируем основную теорему.

Теорема. Если L — спрямляемая кривая, суммируема на L и особый интеграл

существует почти везде для на L, то интеграл типа Коши (166) имеет на угловые предельные значения, выражаемые формулами

Обратно, если интеграл типа Коши (166) имеет почти везде на i угловые предельные значения изнутри или извне L, то почти везде на L существует особый интеграл (183) и граничные значения интеграла типа Коши выражаются формулой (172) (изнутри и извне).

Приведем два результата, касающихся того случая, когда интеграл типа Коши определяет непрерывную в замкнутой области В функцию. Это будет иметь место, например, если на спрямляемой кривой Жордана L функция удовлетворяет условию

В случае круга имеет место следующий результат: если угловые предельные значения интеграла типа Коши (183) совпадают почти везде на окружности с некоторой непрерывной на этой окружности функцией то (183) является непрерывной в замкнутом круге функцией на окружности