187. Уравнение Лямэ.

Применим к уравнению Лапласа обычный метод разделения переменных и будем искать решение этого уравнения в виде произведения трех функций, из которых одна зависит только от а, вторая от и третья от :

Подставляя в уравнение (165) и деля на , будем иметь

Мы удовлетворим этому уравнению, если будем считать, что сомножители в выражении (166) суть решения уравнения одного и того же вида, а именно:

где а и b — некоторые постоянные. Мы приходим таким образом к рассмотрению уравнения второго порядка с двояко-периодическим коэффициентом

Определим прежде всего постоянную а так, чтобы общий интеграл уравнения (167) был однозначной функцией от и. Вблизи точки коэффициент имеет разложение вида

и, следовательно, определяющее уравнение в этой регулярной особой точке будет

Для однозначности необходимо, чтобы корни этого уравнения были целыми числами. Поскольку сумма корней этого уравнения равна должны иметь для уравнения (168) корни — где — некоторое целое положительное число или нуль. Таким образом, для постоянной а получаем следующие возможные значения:

Строго говоря, в предыдущем мы показали лишь, что равенство (169) является необходимым условием однозначности общего интеграла. Покажем теперь, что оно и достаточно. Из общей теории вытекает, что одно из решений уравнения (167) при будет иметь вблизи начала разложение вида

Но уравнение (167) не меняется, если в нем заменить и на а следовательно, если в формуле (170) совершим такую же замену, то мы должны получить также решение. Это новое решение должно отличаться от решения (170) только постоянным множителем, ибо второе решение, линейнонезависимое с (170), уже имеет совершенно иную форму вблизи Из этих рассуждений непосредственно вытекает, что степенной ряд, входящий в формулу (170), содержит лишь четные степени и, т. е.

Второе решение уравнения (167), как известно, может быть получено по формуле [II, 24]

или

Подинтегральная функция будет иметь вблизи разложение, содержащее лишь четные степени и, а потому член с будет отсутствовать,

и второе решение будет содержать . Таким образом, мы видим, что оба решения будут однозначными вблизи Предыдущее рассуждение можно буквально повторить и для любой особой точки уравнения (167). Эти особые точки будут и где периоды любые целые числа. Таким образом, всякое решение уравнения (167) может иметь в особых точках этого уравнения лишь полюсы, а потому является действительно однозначной функцией от .

Подставляя в уравнение (167) значение постоянной (169), получим уравнение

которое называется обычно уравнением Постоянная b определяется дальше из того условия, чтобы уравнение (172) имело решение или в виде полинома от или в виде произведения такого полинома на множители вида

причем таких дополнительных множителей может быть один, два или три. Оказывается, что существует значений для постоянной b, удовлетворяющих этому условию. Если есть решения уравнения (172) упомянутого выше вида, то произведение

являющееся решением уравнения Лапласа, как оказывается, является полиномом от декартовых координат степени п. При заданном таких решений, как было упомянуто выше, будет и они называются обычно функциями Лямэ. Эти полиномы имеют, очевидно, непосредственную связь со сферическими функциями, о которых мы говорили раньше.

Рис. 84.