85. Аналитическое продолжение.

Аналитическое продолжение функции регулярной в некоторой области D пространства может совершаться при помощи цепи областей и вдоль кривой в упомянутом пространстве. Мы кратко остановимся на случае продолжения при помощи цепи круговых бицилиндров.

Пусть функция задана рядом (4) в некотором круговом бицилиндре . Возьмем некоторую точку (с ) внутри этого бицилиндра. При помощи ряда (4) определяются частные производные в точке и ряд Тейлора для по степеням сходящийся в некотором бицилиндре . Он может в содержать точки, находящиеся вне и при этом в общей части и .

значения будут совпадать, а в точках находящихся вне мы получим аналитическое продолжение . Если брать последовательные центры бицилиндров на фиксированной «линии» где — вещественный параметр, то получится определенное аналитическое продолжение первоначального элемента (4) функции Задание равносильно, очевидно, заданию вещественных и мнимых частей и как функций t, т. е. заданию линии в четырехмерном вещественном пространстве Для случая функции одной комплексной переменной этот процесс указан в [18]. На плоскостях комплексных переменных задание определяет две линии выходящие из точек причем параметр t устанавливает биоднозначное соответствие между точками этих линий. Выбирая центры кругов на линиях при аналитическом продолжении, мы должны брать одинаковое значение t. Задание только линий на плоскостях может не определять однозначного аналитического продолжения. При указанном аналитическом продолжении линия должна находиться внутри некоторой открытой области D из внутри бицилиндров вида где Эти бицилиндры и образуют D. Совершенно аналогично круги из [18] образуют открытую область плоскости комплексного переменного , внутри которой содержится линия, вдоль которой совершается аналитическое продолжение.

Мы на этом и ограничиваемся в изложении общей теории функций нескольких комплексных переменных. В настоящее время эта часть теории функций очень широко развилась. Более подробное изложение можно найти в книгах: В. С. Владимиров, Методы, тесрии функций многих комплексных переменных, «Наука», 1964; Б. А. Фукс, Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных, Физматгиз, 1962; Б. А. Фукс, Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных, Физматгиз, 1963; Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ, «Наука», 1969.