164. Асимптотическое выражение полиномов Лежандра.

Совершенно аналогичным путем можно вывести асимптотическое выражение полиномов Лежандра при большом n. Мы имеем дифференциальное уравнение

Введем вместо новую переменную t по формуле а вместо новую функцию:

Подставляя все это в уравнение, получим после несложных преобразований уравнение для

которое мы перепишем в виде

Для мы имеем промежуток которому соответствует За начальное значение возьмем которому соответствует Рассмотрим случай четного значка:

Принимая во внимание формулу (72), а также то обстоятельство, что

будем иметь следующие начальные условия для

Если в уравнении (73) отбросить правую часть, то полученное однородное уравнение будет иметь общий интеграл:

Подберем так, чтобы удовлетворялись условия (74):

или, пользуясь формулами будем иметь

откуда

и, подставляя в (75), получим выражение

Таким образом, решение уравнения (73) при начальных условиях (74) будет

где мы считаем и . Заметим при этом, что решение уравнения (66), удовлетворяющее начальным условиям имеет вид (67), где только нижний предел интеграла равен не нулю, но а. Рассмотрим интеграл, стоящий справа, и воспользуемся формулой (72):

откуда, применяя неравенство Буняковского, получим

Первый из сомножителей, стоящих справа, будет меньше, чем

где имеет конечное определенное значение при заданном t и остается ограниченным при , где — заданное положительное число. Второй из сомножителей меньше

Окончательно получаем оценку

где не зависит от и остается ограниченным при , где — любое заданное положительное число. Подставляя в формулу (76), получим

где остается ограниченным для промежутка при возрастании п. Принимая во внимание выражение (74), получим

Воспользуемся неравенством

которое мы доказали выше. Оно даст нам

или

где функции от которые при остаются ограниченными при возрастании . Этим функциям можно дать и более точную оценку, основываясь на предыдущих вычислениях.

Наконец, пользуясь формулой (72), получим

Совершенно аналогично для нечетного значка:

Полученный результат распространяется и на отрицательные значения и символ в предыдущих формулах обозначает такую величину, что произведение остается ограниченным при возрастании независимо от если находится где угодно в промежутке , причем обозначает любое фиксированное малое положительное число.

Мы можем написать предыдущие формулы в более простом виде. Для этого воспользуемся формулой Валлиса [75]

Она дает

или

где

После этого формулу (77) можно переписать так:

Аналогичным образом поступая и с формулой (68), можно убедиться, что при любом значке имеет место формула

где при равномерно относительно t, если , где

Приведем еще без доказательства асимптотические выражения полиномов Лагерра. Если изменяется в промежутке где а и b — любые конечные числа, то имеет место асимптотическая формула