66. Построение мероморфной функции.

Займемся сейчас задачей построения мероморфной функции, если заданы ее полюсы и бесконечные части

в этих полюсах. Если задано лишь конечное число полюсов то функция

будет давать очевидное решение задачи, причем написанная функция представляет собою рациональную дробь. Положим теперь, что нам дано бесчисленное множество полюсов и соответствующих бесконечных частей. Как мы видели [64], во всякой ограниченной части плоскости должно быть лишь конечное число полюсов, и их можно пронумеровать в порядке неубывающих модулей, т. е.

Никаких других ограничений на расположение полюсов или задание бесконечных частей не предполагается. Считаем только, что среди полюсов нет полюса

Каждая бесконечная часть (82) представляет собою функцию, регулярную внутри круга и внутри этого круга она разлагается в ряд Маклорена:

Возьмем какую-нибудь последовательность положительных чисел образующих сходящийся ряд:

Ввиду равномерной сходимости степенного ряда (83) в круге [13]

мы можем взять такой отрезок этого ряда

что

Составим ряд

и рассмотрим любой круг с центром в начале и радиусом R. В силу существует такое N, что при и таких значениях k в круге имеет место оценка (85), и, следовательно, в силу сходимости ряда (84), ряд (86) сходится в абсолютно и равномерно, если отбросить в нем первые N слагаемых. Эти первые слагаемые дадут в круге полюсы с бесконечными частями (82). Абсолютно и равномерно сходящийся ряд даст функцию, регулярную в . Ввиду произвольности радиуса R в этих рассуждениях, мы видим, что сумма (86) решает поставленную задачу о построении мероморфной функции по заданным полюсам и бесконечным частям. Заметим при этом, что полиномы никаких новых особенностей не добавляют.

Если задан еще полюс с бесконечной частью

то достаточно добавить эту бесконечную часть к ряду (86). Приведенное решение задачи принадлежит шведскому математику Миттаг-Леффлеру.

В [64] мы дали формулу разложения мероморфной функции на простейшие дроби при некоторых дополнительных предположениях. Сейчас дадим аналогичную формулу в общем случае.

Пусть некоторая мероморфная функция. Пользуясь вышеуказанным методом, можно построить мероморфную функцию которая имела бы те же полюсы с теми же бесконечными частями, что и Эта мероморфная функция будет выражаться формулой вида (86). Разность будет, очевидно, функцией, регулярной на всей плоскости (кроме ). Такая функция называется целой функцией. Она представима на всей плоскости своим рядом Маклорена. Обозначая

лолучим следующее представление мероморфной функции:

где некоторая целая функция. Эта последняя формула имеет больше теоретический интерес, тогда как формулами (75) и (76) удобно пользоваться в конкретных примерах. Если считать любой целой функцией, то (87) дает общую формулу для всех мероморфных функций с заданными полюсами и бесконечными частями.