153. Асимптотические представления.

Полученные интегральные представления (84) и (87) удобно применить для нахождения приближенных выражений цилиндрических функций в случае больших значений или . Обозначим

и введем в рассмотрение функцию

Тогда интегралы из формул (84) и (87) примут следующий вид:

Будем считать, что и z суть положительные вещественные числа и воспользуемся методом скорейшего спуска.

Для проведения этого метода прежде всего необходимо выяснить положение седловых точек определяемых из условия

установить расположение контуров

и убедиться в том, что контуры могут быть приведены к линиям наибыстрейшего изменения функции (89).

Мы рассмотрим все эти вопросы, причем будем различать три случая в зависимости от значения числа

1. Случай

Седловые точки имеют значения где . Будем считать, что и выясним расположение стационарных контуров.

Рассмотрим вначале полуполосу . В седловой точке

Как следует из построений [79], направление стационарного контура, вдоль которого убывает (соответственно возрастает), определяется равенством соответственно

Уравнению стационарных контуров проходящих через стационарную точку можно придать вид

откуда

Таким образом, или в соответствии со знаком

Из [92] следует, что при и при . Следовательно, стационарный контур, вдоль которого убывает, выходит из седловой точки под углом к вещественной оси и монотонно удаляется от нее прилижаясь к своей асимптоте и

Рис. 75.

Стационарный контур, вдоль которого возрастает, выходит из стационарной точки под углом и при приближается к вещественной оси имея ее своей асимптотой.

Стационарные контуры в полосе и в полосе нетрудно построить, зеркально отражая построенные нами контуры сначала от мнимой оси, потом от вещественной. Это легко следует из четности по и левой части формулы и уравнения

стационарных контуров, проходящих через седловую точку . На рис. 75 стрелками на стационарных контурах указано направление убывания . В качестве контуров в формулах (87) для функций Ханкеля можно взять стационарные контуры а и b (рис. 75).

Применяя обычную схему метода скорейшего спуска к интегралам

получим

Асимптотику функции Бесселя нетрудно найти, пользуясь формулой

Если в формулах (97) зафиксировать то они переходят в полученные нами уже асимптотические формулы (187) и (188) из [114].

При интегралы (95) и (96) тоже можно вычислить по методу перевала, однако при в седловой точке и формулы из [79] приходится применять уже в случае

При правые части формул (97), (98) стремятся к бесконечности и не переходят в асимптотические формулы для функций

Случай, когда меняется в окрестности точки будет далее специально рассмотрен.

Если проанализировать процесс оценки остатка при проведении метода скорейшего спуска [79], то нетрудно видеть, что функции в формулах (97) и (98) удовлетворяют неравенству

где С на любом интервале фиксировано) можно выбрать не зависящей от .

2. Случай Седловые точки находятся из равенства Уравнение стационарных контуров имеет вид

или

Они распадаются на вещественную ось и на кривую симметричную относительно координатных осей и имеющую две ветви.

Стационарные контуры изображены на рис. 76. Направления, при движении вдоль которых вещественная часть уменьшается, помечены стрелками.

В качестве и формулах можно взять соответственно контуры, идущие вдоль вещественной оси из до точки а и далее по стационарному пути в точку или . При главный вклад в интегралы (87) дает интегрирование по окрестности точки а. Таким образом, асимптотические разложения первой и второй функций Ханкеля отличаются только знаком.

Рис. 76.

Для получения асимптотики функции Бесселя контур формуле можно деформировать в стационарный контур, идущий из в точку а и далее Главный вклад в интеграл (84) при дает интегрирование по окрестности точки а.

Применяя основную формулу из [79], получим

Через формулах (102), (103), (104) обозначены функции , допускающие при оценку

Тщательное проведение оценок метода скорейшего спуска показывает, что постоянную С здесь можно выбрать не зависящей ни от z, ни от на полуоси - произвольное фиксированное число).

При переходе с отрезка на полуось характер асимптотики функций Бесселя и Ханкеля существенно меняется. При эти функции осциллируют, при функция Бесселя экспоненциально убывает, функции Ханкеля экспоненциально растут.

3. Случай .

Пусть , возрастая, пробегает отрезок Как следует из предыдущего, две стационарные точки при функции

будут при возрастании двигаться к началу координат и сольются в одну точку при Дальше при возрастании седловые точки опять расходятся от начала координат, двигаясь уже и по вещественной оси влево и вправо

Точка - точка смены форм асимптотик. Поведение функций при меняющемся в окрестности точки удается описать с помощью функций Эйри [118], а именно: для любых целых имеют место формулы

Здесь функции , не зависящие от регулярные и вещественные при причем

Через обозначены Функции от и z, допускающие оценки

На любом интервале ( фиксировано) постоянные можно выбрать не зависящими ни от , ни от .

Для функций получены рекуррентные соотношения, позволяющие в принципе найти в явном виде эти функции при любом целом .

Вывод формул (106), (107) довольно сложен. Он требует распространения классического метода скорейшего спуска на тот случай, когда у «фазовой» функции две стационарные точки близки (в нашем случае, как мы отмечали, при две стационарные точки стремятся к точке .

С этой модификацией метода скорейшего спуска и выводом формул (106), (107) можно познакомиться по статье С. Chester, В. Fгiеdmаn, F. Ur sell (Proc. Cambr. Philos. Soc. 1957, v. 53, № 3, 599, 611).

Равномерные асимптотические формулы для функций Бесселя и Ханкеля впервые были получены акад. В. А. Фоком в 1934 г. (ДАН, т. 1, N° 3, 97-99).

Изложение настоящего пункта принадлежит В. М. Бабичу.