156. Волновое уравнение в сферических координатах.

Рассмотрим теперь уравнение (115) в сферических координатах. Оно будет иметь вид

Ищем его решение в обычной форме:

Подставляя в уравнение и разделяя переменные, получим

где определяется формулой (71) из [136]. Мы приходим, таким образом, к двум уравнениям следующего вида:

и

Уравнение (123) совпадает с тем, которое мы имели при изучении сферических функций. Считая решение однозначным и непрерывным

получаем для постоянной X следующие возможные значения:

и им будут соответствовать решения уравнения (123), представляющие собою обычные сферические функции Уравнение (124) переписывается в виде

Введем вместо новую искомую функцию по формуле

Подставляя в уравнение (125), мы получим для уравнение вида

и, таким образом, есть , где есть решение уравнения Бесселя с параметром и согласно (122) мы имеем

Заметим, что мы имеем здесь как раз тот случай уравнения Бесселя, когда его решения выражаются в конечном виде через элементарные функции. Выбор решения определяется, как и в предыдущем номере, физическими условиями задачи. Обычно вводят в рассмотрение следующие три функции:

причем постоянный множитель добавлен для удобства вычислений. В частности, при мы получаем согласно [149]

Те частные решения, которые не зависят от имеют вид

и при имеем

Чтобы получить решения основного уравнения (113), мы должны еще помножить решения (126) на или, что то же, на где и k связаны соотношением (116). Если применим к уравнению (113) обычное разделение переменных, полагая Для V получим уравнение (116), а для будем иметь

что и дает нам указанные выше функции, зависящие от t Но до сих пор мы считали, что k (или ) отлично от нуля. Если то мы должны брать и для V получаем просто уравнение Лапласа Это приводит нас, таким образом, еще к решениям вида

которые надо присоединить к решениям (126).

Здесь, как и в предыдущем случае цилиндрических координат, можно провести до конца решение задачи относительно колебаний внутри сферы при заданных предельных и начальных условиях, а также задачу дифракции плоской волны относительно сферы.

Положим сначала, что требуется найти решение волнового уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

и предельному условию

Обращаясь к решениям (126) и принимая во внимание требования конечности решения при берем равным и определяем при заданном числа k из предельного условия

В дальнейшем обозначим положительные корни этого уравнения через

Кроме того, решения (128) удовлетворяют предельному условию (131) при Согласно методу Фурье мы должны искать решение нашей задачи в виде

Остается определить еще сферические функции порядка из начальных условий (130). Заметим при этом, что уравнение (132) имеет как раз ту форму, которую мы рассматривали в [151], и мы сможем определить упомянутые сферические функции, пользуясь ортогональностью функций Бесселя. Более подробно мы не будем этого выяснять.

Обратимся теперь к задаче дифракции элементарной плоской волны, определяемой решением уравнения (129), относительно сферы при предельном условии

В данном случае мы взяли волну, распространяющуюся вдоль оси Z. Вместо формулы (121) в сферических координатах имеет место формула

где обычные полиномы Лежандра. Доказательства этой формулы мы приводить не будем. Принимая во внимание принцип излучения, мы будем искать дополнительное возмущение в виде

Коэффициенты определяются из того условия, что сумма решений (134) и (135) должна обращаться в нуль при что даст нам