Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
119. Асимптотика при большом значении параметра.Прежде чем переходить к аналитической теории систем линейных дифференциальных уравнений, мы рассмотрим два вопроса для линейных уравнений второго порядка без предположения аналитичности коэффициентов уравнений, а именно: асимптотику решений уравнений при больших значениях параметра, входящего в уравнения, и уравнения с периодическими коэффициентами. Начнем с первого вопроса, который мы рассмотрим кратко, не останавливаясь на подробных доказательствах. Мы будем рассматривать уравнение вида
где функции
приводится к случаю (242) заменой
В дальнейшем будем предполагать, что Рассмотрим сначала тот случай, когда
Интервал
где
есть непрерывная на
имеет общее решение [II, 34]
где
к решению которого можно применить метод последовательных приближений. В качестве нулевого приближения берем
а последующие поправки определяются формулами
Непрерывная функция
из которого следует, что ряд
равномерно сходится на промежутке
равномерно относительно т. Таким образом, имеем
или, возвращаясь к исходным переменным х и у, получаем асимптотику решений уравнения (242) при больших X:
Мы могли бы вместо конечного промежутка В связи со сказанным выше сделаем одно замечание. Рассмотрим уравнение
где Совершенно аналогично случаю
Переходим теперь к более сложному случаю, когда
меняет знак на рассматриваемом промежутке. Не ограничивая общности можем считать, что
Относительно гладкости
где
где
Функция (253) в точности удовлетворяет уравнению
где
При любом
где
Функция В дальнейшем мы будем придерживаться и пользоваться результатами и обозначениями из [118]. Теорема 1. Существуют решения уравнения (251), имеющие при
где
где постоянная С не зависит ни от Напомним, что Наметим доказательство утверждения для
где
и
Для
Выбор нижнего предела интегрирования Лемм а. Если в интегральном уравнении на конечном промежутке
с непрерывным в квадрате
то уравнение (259) имеет единственное решение
где
Кроме того, если Доказательство леммы легко проводится методом последовательных приближений. Из упомянутой леммы следует, что для доказательства сформулированной теоремы достаточно установить оценку
где С не зависит ни от Кратко наметим путь получения этой оценки. Буквой С будем обозначать различные постоянные (не зависящее от X). Из определения
откуда следует
Интеграл
имеет еще меньший порядок по X. Переходим к его оценке
Положив
Легко проверить, что
откуда в силу (258) следует утверждение теоремы 1. Для случая
На всем промежутке Функции Теорема 2. Решения
где
причем С не зависит ни от Доказательство этой теоремы, основанное на исследовании интегрального уравнения (257), мы подробно приводить не будем. Отметим лишь, что интегральное уравнение для
и интеграл представляется в виде суммы двух интегралов по промежуткам
а в интеграле по промежутку
Замечание. Отметим еще, что появление и Можно было бы вместо и Теорема 3. При
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1, но несколько проще.
|
1 |
Оглавление
|