116. Формальные ряды в окрестности иррегулярной особой точки.

При построении указанных в заглавии рядов будем считать, что иррегулярной особой точкой является точка . Этого всегда можно достигнуть, совершая дробно-линейное преобразование независимой переменной. Мы будем предполагать, что коэффициенты уравнения регулярны в окрестности т. е. что уравнение имеет вид

и написанные ряды сходятся при . Если , то точка или является регулярной особой точкой, или вовсе не является особой точкой [100]. Мы считаем, что по крайней мере один из указанных коэффициентов отличен от нуля. Если будем пытаться формально удовлетворить этому уравнению выражением вида

где , то при подстановке в левую часть уравнения будем иметь единственный член, содержащий , а именно член вида . Отсюда следует, что мы не сможем даже формально удовлетворить нашему уравнению выражением вида (194), если Попытаемся освободиться от коэффициента вводя вместо w новую искомую функцию и по формуле

Отсюда

и, подставляя в уравнение, будем иметь новое уравнение

Остается теперь выбрать постоянную а согласно условию

В результате получим уравнение вида

где а — некоторый корень уравнения (195). Этому уравнению мы уже сможем формально удовлетворить выражением вида (194). Положим сначала

откуда

Подставляя в (196), будем иметь для новой функции v уравнение

где

Определим теперь из того условия, чтобы коэффициент не содержал члена с , т. е. чтобы

При этом мы считаем, что уравнение (195) имеет различные корни, откуда следует, что .

Новое уравнение для v будет

Этому уравнению мы сможем формально удовлетворить уже рядом

Дифференцируя, подставляя в левую часть уравнения и применяя метод неопределенных коэффициентов, получим систему уравнений, из которых последовательно определяются будет играть роль произвольного множителя. Напишем первое из этих уравнений:

откуда

Окончательно получаем выражение вида

которое формально удовлетворяет уравнению (193). Если квадратное уравнение (195) имеет различные корни, то, используя каждый из них, мы построим вышеуказанным образом два выражения вида (203). Но, как оказывается, бесконечный ряд, входящий в выражение (203), будет, вообще говоря, рядом, расходящимся при всяком значении . Покажем это на одном частном примере. Возьмем уравнение

В данном случае мы можем считать и, подставляя в левую часть уравнения (204) ряд вида (201), найдем следующие формулы для определения коэффициентов:

Возьмем отношение двух последовательных членов ряда (201). Пользуясь предыдущей формулой, получим для этого отношения следующее выражение:

из которого непосредственно следует, что при любом заданном z упомянутое отношение стремится к бесконечности вместе с , и, следовательно, построенный бесконечный ряд не может сходиться ни при каком

Рассмотрим теперь тот случай, когда уравнение (195) имеет двукратный корень. При этом и уравнение (196) имеет вид

Вводя новую независимую переменную получим уравнение

и для него квадратное уравнение (195) имеет вид и если то мы имеем для уравнения рассмотренный выше случай различных корней уравнения (195).

Если же то точка является регулярной особой точкой уравнения (205) или же неособой точкой.

Уравнение (112) является частным случаем уравнения (193). Для его решений мы получили асимптотические разложения (179) и (181), причем уравнения (117) для (112) совпадают с уравнением и q совпадают с Нетрудно показать, что полученные нами разложения (203) совпадают, с точностью до постоянного множителя, с асимптотическими разложениями (179) и (181). Таким образом, в случае уравнения (112) полученные формальные ряды являются асимптотическими представлениями некоторых решений этого уравнения. Это же будет иметь место и для общего уравнения (193). Асимптотические представления решения этого уравнения мы будем строить по методу последовательных приближений.