50. Предельные задачи.

Задача Дирихле является наиболее простой из предельных задач для гармонических функций. Формулируем общую предельную задачу для гармонических функций, частным случаем которой является задача Дирихле: требуется найти гармоническую функцию внутри некоторой односвязной области В с контуром удовлетворяющую на контуре предельному условию вида

где а, b, с и d — заданные вещественные функции на контуре которые считаем функциями длины цуги s этого контура. Мы можем считать и вещественной частью некоторой регулярной функции

При этом, как известно,

и, следовательно, мы имеем отсюда

где — знак вещественной части.

Условие (137) переписывается в виде

и, таким образом, вопрос сводится к разысканию регулярной внутри В функции, которая на контуре удовлетворяет условию (138).

Пусть известна функция совершающая конформное преобразование нашей области В в единичный круг Мы можем рассматривать искомую функцию как функцию регулярную внутри единичного круга:

При этом будем иметь вместо (138)

где в результате преобразования можно считать, что а, b, с и d определены на окружности Таким образом, задача привелась к случаю круга.

Рассмотрим подробно тот случай, когда предельное условие (137), которое мы будем считать относящимся к окружности , не содержит самой искомой функции а. В этом случае задача формулируется следующим образом: требуется найти гармоническую внутри единичного круга функцию

и удовлетворяющую на окружности этого круга предельному условию вида

Будем рассматривать а как вещественную часть некоторой регулярной функции При этом и будут вещественной и мнимой частью Меняя обозначения и полагая

сводим сформулированную выше задачу к следующей, называемой обычно задачей Гильберта: найти функцию регулярную внутри единичного круга, у которой вещестнная и мнимая части удовлетворяют на окружности круга предельному условию вида

где - заданные функции полярного угла на единичной <окружности. Мы считаем, что коэффициенты суть непрерывные функции, причем одновременно в нуль не обращаются. Можно при этом, деля обе части уравнения (139), добиться гого, чтобы коэффициенты удовлетворяли условию

При этом можно положить

где есть некоторая функция от у, а именно:

Разберем сначала подробно тот случай, когда формулы (141) дают как однозначную функцию . Это будет иметь место, например, в том случае, когда или не обращаются в нуль в промежутке . Пользуясь функцией мы можем записать предельное условие (139) в виде

Построим функцию те по ее вещественной части пользуясь формулой Шварца:

Обозначим через предельные значения ее мнимой части. Функция

имеет на единичной окружности вещественную часть, равную

и, следовательно, предельное условие (143) равносильно следующему предельному условию:

Зная вещественную часть функции на контуре, мы можем определить эту функцию внутри опять по формуле Шварца:

где суть предельные значения мнимой части функции (144):

Здесь знак мнимой части. Окончательно для будем иметь выражение

Рассмотрим теперь тот случай, когда при обходе единичной окружности функция приобретает слагаемое где — целое положительное число:

Построим функцию, однозначную на единичной окружности:

и по этой функции построим соответствующую функцию комплексного переменного а имеющую предельные значения вещественной части Предельные значения вещественной части у функции

будут равны а предельные значения ее мнимой части будут, очевидно, те же, что и у функции a(z). Обозначим их опять через . Совершенна так же, как и выше, мы можем показать, что функция

должна иметь предельные значения вещественной части равными

Ввиду присутствия множителя эта функция может иметь в начале координат полюс порядка не выше . Построим сначала с помощью формулы Шварца регулярную внутри единичного круга функцию с предельными значениями вещественной части

Мы должны добавить теперь к этой функции слагаемое, у которого вещественная часть на единичной окружности равна нулю, но которая может иметь полюс порядка в начале. Нетрудно видеть, что такое слагаемое

будет иметь вид

где — произвольные вещественные постоянные.

Добавив это последнее выражение к выражению (149), будем иметь общее решение задачи

В том случае, когда n в формуле (147) есть целое отрицательное число, решение задачи будет иным. Укажем лишь на то, что в этом случае функция, которая стоит под знаком вещественной части выражения (148), не только должна быть регулярна внутри единичного круга, но должна еще иметь в начале координат корень порядка не ниже п. Строя по правой части формулы (148) регулярную функцию при помощи интеграла Шварца, мы должны будем написать еще условие того, что полученная функция имеет в начале координат корень порядка не ниже z. Таким образом, получится несколько условий для функции , которым эта функция должна удовлетворять для того, чтобы задача имела решение.

Рассмотрим еще одну задачу частного вида, а именно: положим, что предельные условия для гармонической функции на единичной окружности имеют вид

где — постоянные и заданная функция, причем есть направление внешней нормали к окружности и s — направление, касательное к окружности. В данном случае мы вместо производных по направлениям осей координат берем производные по указанным выше направлениям, связанным с граничной кривой. Как хорошо известно эти производные выражаются друг через друга. В математической физике чаще пользуются предельными условиями, выраженными в форме (151). Дифференцирование по направлению совпадает, очевидно, с дифференцированием по радиусу-вектору , и дифференцирование по s совпадает с дифференцированием по полярному углу при . Вообще мы имеем, полагая , причем можно считать ,

и предельное условие (151) можно переписать так:

Умножим обе части этого равенства на

и проинтегрируем по . Мы получим новое равенство, равносильное предыдущему [48]. Принимая во внимание формулу Шварца, нетрудно видеть, что оно будет иметь вид

где

Будем считать, что есть тригонометрический полином порядка :

При этом

Уравнение (152) есть линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Интегрируя его [II, 23], получаем

где С — произвольная постоянная и должны выяснить условия, при которых будет точкой регулярности .

При интеграл дает логарифмический член, если Таким образом, при мы имеем условие разрешимости задачи и если оно выполнено, то решение имеет вид

Произвольная постоянная С есть решение уравнения

При число к комплексно, надо положить и решение имеет вид

Положим теперь, что так что вещественно и отлично от нуля (случай рассмотрен). Если к не целое число или целое положительное число, то надо положить и получится решение (154) при . Если то есть условие разрешимости и в решении надо оставить С, т. е. оно будет

где штрих у суммы показывает, что при суммировании надо исключить. Наконец, если k есть целое отрицательное , то решение будет