90. Интерполяционные полиномы.

Основная и простейшая задача интерполирования заключается в следующем: требуется построить полином степени не выше который принимал бы заданные значения в точках плоскости комплексного переменного. Положим, что в точках он должен принимать значение Заметим прежде всего, что такой полином может быть только один. Действительно, мы знаем [I, 186], что два полинома степени не выше совпадают тождественно, если совпадают их значения в различных точках. Решение задачи интерполирования может быть написано в виде следующей простой формулы:

Непосредственно видно, что выражение, стоящее справа, есть полином от z степени не выше Если мы положим, например, то в правой части все слагаемые, кроме первого, обратятся в нуль, а в первом слагаемом дробь будет очевидно равна единице, т. е. и точно так же вообще

Если есть функция, регулярная в некоторой области, и точки принадлежат этой области, то формула

дает тот единственный полином степени не выше значения которого в точках совпадают со значениями функции Этот полином называется обычно интерполяционным полиномом Лагранжа для точек а формула (65) называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Общий полином степени

содержит всего параметров . В формуле Лагранжа эти параметры определяются из условий, а именно из тех условий, что в точках значения полинома должны равняться Поставим теперь задачу более общим образом. Положим опять, что регулярна в некоторой области и что внутри этой области задано J точек и требуется построить полином степени не выше , у которого бы в точке совпадали его значение и значения всех его производных до порядка с соответствующими значениями функции и является искомым интерполяционным полиномом.

Мы будем обозначать его в дальнейшем символом

причем все различны. При имеем

Первая формула получается для из формулы (65). В общем случае имеем, как нетрудно показать,

где

Действительно, легко проверить, что полином имеет степень не выше и удовлетворяет условиям

Формула (65) получается при .