129. Формальные разложения в окрестности иррегулярной особой точки.

Мы рассмотрим для случая систем вопрос о построении формальных разложений решений в окрестности иррегулярной особой точки простейшего типа. Мы будем считать, что иррегулярная точка есть . Аналогичный вопрос для одного уравнения второго порядка был рассмотрен нами в [116].

Пользуясь матричной формой записи, напишем систему в виде

где — заданные матрицы порядка п. Положим, что ряд, стоящий в правой части, сходится в области Предположим, что характеристические числа матрицы различны. Переходя от К к подобной матрице мы можем выбрать неособую матрицу так, чтобы имела диагональный вид. Будем считать, что это имеет место в уравнении (365):

Решение уравнения (365) будем искать в виде

где В и D — диагональные матрицы.

Из (366) следует

и, подставляя в (365), получаем следующее тождество для нахождения матриц которых первые две, по условию, диагональные матрицы):

Собирая члены, не содержащие z, получим

и в качестве решения этого уравнения берем

Для дальнейших вычислений полезно сделать некоторые общие замечания. Пусть А — диагональная матрица и -любая. Нетрудно проверить, что разность есть матрица с нулевой главной диагональю, т. е. Отметим еще, что если А — диагональная матрица и - матрица с нулевой главной диагональю, то и матрицы и GA — с нулевой главной диагональю.

Возвращаемся к уравнению (368). Собирая члены с и принимая во внимание (370), получим

Матрица левой части есть матрица с нулевой главной диагональю, и, следовательно, элементы диагональной матрицы D определяются равенствами

Недиагональные элементы определяются, в силу (371), равенствами

Диагональные элементы пока не определены. Собирая члены при получим

Положим где часть с нулевой главной диагональю и - диагональная матрица. Приходим к равенству

При преобразованиях, приведших к этому равенству, мы воспользовались коммутативностью произведения диагональных матриц. В правой части первое слагаемое известно, а второе, в силу (371), есть матрица с нулевой главной диагональю, и такой же является левая часть равенства. Отсюда следует, что равенство (374) дает возможности определить . Дальше рассуждаем по индукции. Пусть определены Собираем в равенстве (368) члены при и полагаем, как и выше

Нам надо показать, что полученное равенство дает возможность определить и Р. Оно имеет вид

или, после подстановки и перестановки

В круглых скобках стоят известные матрицы, есть матрица с нулевой главной диагональю, и совершенно так же, как и в случае последнее равенство дает возможность определить и Р. Таким образом, доказано, что при выборе решений уравнения (369) в виде (370) можно однозначно построить формальное решение уравнения (365) в виде

при условии, что в уравнении (365) есть диагональная матрица с различными характеристическими числами. Матрица D есть диагональная матрица, определяемая формулой (372).

Выше в [117] мы доказали, что всякому формальному решению уравнения (193) соответствует и некоторое действительное решение этого уравнения, для которого это формальное решение является асимптотическим в некотором секторе. Аналогичное утверждение имеет место и для системы сделанных предположениях. Мы только сформулируем соответствующий результат.

Пусть — диагональные элементы диагональных матриц и D. Каждая строка матрицы определяемой формулой (375), имеет вид

где i — фиксированный номер строки, k — номер столбца при

Обозначим, далее, через s сектор а такой, что все направления определяемые равенством находятся вне При этом в секторе при достаточно больших значениях существует такое решение системы, что т. е.

Доказательство этой теоремы имеется в книге: Э. А. Коддингтони Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, 1958. Там же рассмотрен более общий случай систем вида

где — целое положительное число, а также случай, когда имеет кратные характеристические числа.

При доказательстве сформулированного выше результата существенную роль играет применение метода последовательных приближений.

Метод последовательных приближений для линейных систем, приводящий к равномерной сходимости на бесконечном промежутке, содёржится в заметке В. В. Хорошилова (ДАН СССР, 1949) и в работе Н. П. Еругин, Приводимые системы, 1946, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова.