108. Преобразование Лапласа.

Изложим теперь новый метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений второго порядка, а именно метод интегрирования при помощи контурных интегралов. Далее мы используем этот метод при исследовании некоторых специальных функций, а также при изучении поведения решений вблизи иррегулярной особой точки уравнения (1). Мы подробно изложим упомянутый метод для уравнений вида

Это уравнение имеет, вообще говоря, регулярную особую точку и иррегулярную Будем искать его решение в виде

где - искомая функция и l — искомый, не зависящий от z путь интегрирования. Интегральное преобразование (113) называется обычно преобразованием Лапласа.

Дифференцируя (113) по имеем

Умножая на и интегрируя по частям, получим

где символ

обозначает приращение функции когда описывает контур l. Точно так же будем иметь

и

Поставим прежде всего условие, чтобы

При подстановке предыдущих выражений в левую часть уравнения (112) виеинтегральные члены будут равны нулю в силу (115), и мы приведем это уравнение к виду

Оно будет наверно удовлетворено, если определить функцию из уравнения

Рассмотрим квадратное уравнение

и допустим, что оно имеет различные корни и Уравнение (116) дает нам

или, разлагая дробь на простейшие,

где

С другой стороны, из квадратного уравнения (117) получаем

и предыдущие выражения и q преобразуются к виду

Интегрируя уравнение (118), получим

и, следовательно, решение уравнения (112) можно получить по формуле

где С—произвольная постоянная, а контур l в силу должен удовлетворять условию

Отметим, что надо выбирать так, чтобы интеграл, входящий в формулу (122), не был тождественно по z равен нулю.