167. Примеры.

1. Время полного колебания простого маятника с длиной l и амплитудой колебания выражается формулой

где g — ускорение силы тяжести. Нетрудно выразить интеграл (22) в виде полного эллиптического интеграла первого рода. Для этого введем постоянную и вместо введем новую переменную по формуле

Мы получим

и, кроме того,

откуда окончательно будем иметь., принимая во внимание, что в силу переменная должна меняться от 0 до у:

2. Рассмотрим эллиптический интеграл

где и положим, что верхний предел заключается в промежутке , где а определяется из уравнения Введем вместо новую переменную по формуле Изменения будут ограничиваться некоторым промежутком , где и после элементарных преобразований получим

откуда

Если верхний предел мы получаем, согласно обозначениям (21),

Совершенно так же можно рассмотреть и интеграл

при . В частности, мы будем иметь

3. Рассмотрим интеграл

Положив приведем его к нормальному виду

Точно так же, при помощи той же подстановки, получим

4. К интегралу

применимо то, что мы говорили в [166], и в соответствии с этим, вводя вместо новую переменную по формуле

будем иметь

5. Более сложным является приведение интеграла

к простейшему виду. В данном случае подрадикальный полином разлагается на два вещественных множителя второй степени

Вообще, если подрадикальный полином четвертой степени имеет все корни мнимые и разлагается на вещественные множители второй степени

то надо определить числа по формулам

и совершить замену переменной

где — наименьшее из двух чисел

В данном случае замена переменных будет иметь вид

и в результате такого преобразования интеграл (23) примет вид

Нетрудно проверить, что выражение, стоящее под радикалом, является произведением

на и мы получаем окончательно следующую формулу, дающую приведение интеграла (23) к нормальному виду: