178. Свойства функций тэта.
Все функции тэта суть целые функции аргумента v, и основным элементом при их построении было комплексное число 
из верхней полуплоскости. Чтобы отметить последнее обстоятельство, иногда пишут 
. Из них функция 
, как было уже упомянуто, нечетная, а остальные — четные. Посмотрим теперь, как изменяются функции тэта при прибавлении к аргументу v числа у. Принимая во внимание разложение функций тэта в тригонометрические ряды и пользуясь формулами приведения тригонометрических функций, мы непосредственно получим
Исследуем теперь изменение функции тэта при прибавлении к аргументу v числа у. Это, как известно, равносильно умножению 
на 
. Пользуясь представлениями функций тэта в виде степенных рядов, получим таким образом, например, в силу (92)
или в силу (102)
где
и точно так же можно показать, что
Отсюда можно получить и более общие формулы преобразования. Так, например:
где
Полученные результаты могут быть записаны в виде следующей таблицы:
Если мы хотим выразить, например, 
через функцию тэта от основного аргумента v, то должны в первом столбце найти 
и в соответствующей строке взять выражение, стоящее под
Дадим еще таблицу корней функции тэта. Функция отличается от функции о 
множителем показательного типа, который никогда в нуль не обращается, и, следовательно, 
обращается в нуль тогда и только тогда, когда 
обращается в нуль, а это последнее обстоятельство имеет место, если
где 
— любые целые числа. Деля на 
получаем следующее выражение для корней функции 
Корни остальных функций тэта можно получить, пользуясь первой строкой предыдущей таблицы. Так, например, мы имеем
и, следовательно, корни 
будут определяться из условия
ибо 
в нуль не обращается, или
где 
любые целые числа. Мы получаем, таким образом, следующую таблицу для корней функции тэта:
Отметим еще, что из пятого столбца таблицы (109) непосредственно следует, что функции 
имеют период 1, а функции и имеют период 2. Последняя таблица показывает, что различные функции тэта не имеют одинаковых корней.
Функции тэта мы можем считать функциями от двух аргументов 
При всяком заданном 
из верхней полуплоскости это суть целые функции 
и при всяком заданном v это суть регулярные функции от 
в верхней полуплоскости. Это последнее обстоятельство непосредственно следует из того, что ряды (92) и (102) сходятся равномерно при условии 
. Покажем теперь, что все четыре функции тэта, как функции двух аргументов, удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению второго порядка:
Это уравнение имеет формальное сходство с уравнением теплопроводности, о котором мы говорили раньше [II, 203]. Проверим уравнение (111) хотя бы для функции 
Дифференцируя общий член ряда (104), который равен 
два раза по v, получим
и тот же результат мы получим, дифференцируя один раз по 
и умножая на 
Аналогично проверяется уравнение и для остальных функций тэта.
