35. Функция ...
Рассмотрим преобразование плоскости, совершаемое функцией
где k — некоторое заданное положительное число. Посмотрим, во что перейдет сетка полярных координат плоскости
, т. е. во что перейдут окружности
с центром в начале, и во что перейдет пучок прямых
проходящих через начало. Подставляя в формулу
и отделяя вещественную и мнимую части, получим равенства
Рассмотрим окружность
Нетрудно исключить
из уравнений (31), что приводит к уравнению
т. е. упомянутая окружность переходит на плоскости w в эллипс с полуосями
причем в выражении для b мы пишем абсолютное значение, потому что разность может быть как положительной, так и отрицательной. Уравнения (31) при
дают, очевидно, параметрическое уравнение этого эллипса. В случае единичной окружности
уравнения (31) дают
т. е. эллипс вырождается в отрезок
вещественной оси, пробегаемой два раза или, как мы будем говорить, в двойной отрезок. При уменьшении
от единицы до нуля эллипсы будут беспредельно расширяться и покроют всю плоскость, и таким образом внутренности единичного круга будет соответствовать вся плоскость w с разрезом
Точно так же при увеличении
от единицы до бесконечности мы получим такие же беспредельно расширяющиеся эллипсы, т. е. части плоскости
, находящейся вне единичного круга, будет также соответствовать вся плоскость w с разрезом
. Полная плоскость z перейдет в двулистную риманову поверхность на плоскости w с точками разветвления
. В соответствии с этим функция, обратная (30):
будет двузначной и будет иметь упомянутые точки разветвления. Обратимся к более подробному рассмотрению эллипсов (31). Фокусы этих эллипсов находятся на вещественной оси, и их абсциссы вычисляются, как известно, через полуоси а и
по формуле
. В данном случае будем иметь
т. е. при всяком значении
фокусы будут находиться на концах отрезка
, или, иначе говоря, эллипсы (32) будут софокусными.
Посмотрим теперь, во что перейдут прямые
Исключая из уравнений (31) переменную
, будем иметь
т. е. получим семейство гипербол с полуосями
Покажем, что эти гиперболы будут софокусны рассмотренным выше эллипсам. Как известно, у гипербол (33) фокусы находятся на вещественной оси, и абсциссы фокусов выражаются через полуоси по формуле
. В данном случае
, т. е. действительно эллипсы и гиперболы софокусны. Гиперболы, соответствующие координатным осям плоскости z
вырождаются в ось
и в отрезки
вещественной оси.
Рис. 34.
Таким образом, мы можем окончательно сказать, что сетка полярных координат плоскости z переходит в результате преобразования (30) в сетку софокусных эллипсов и гипербол, имеющих фокусы в точках
Нетрудно построить функцию, для которой сетка софокусных эллипсов и гипербол будет служить изотермической сеткой. Для этого напомним то, что мы раньше знали относительно преобразования, совершаемого показательной функцией [19]:
имеющей период
. Из формулы
непосредственно вытекает, что линии
переходят в окружности с центром в начале и радиусом а линии
переходят в прямые
проходящие через начало, т. е. функция
преобразует сетку декартовых координат плоскости z в сетку полярных координат плоскости w.
Рассмотрим функцию вида
имеющую период
Из написанной формулы непосредственно вытекает, что и для этой функции сетка декартовых координат переходит в сетку полярных координат, но только линии
переходят В окружности и линии
прямые.
Рассмотрим теперь функцию
В результате преобразования (34) сетка декартовых координат перейдет в сетку полярных координат, и затем в результате преобразования (35) сетка полярных координат перейдет в вышеуказанную сетку софокусных эллипсов и гипербол. Но применение упомянутых двух преобразований от
к
и от к w дает в окончательном результате преобразование
таким образом, функция
переводит сетку декартовых координат в сетку софокусных эллипсов и гипербол, т. е. эта последняя сетка является изотермической сеткой на плоскости w для функции
. Если бы мы стали рассматривать
обратную функцию
, то для нее сетка софокусных эллипсов и гипербол была бы изотермической сеткой на плоскости z.
Совершенно так же, как и в предыдущем номере, мы можем получить из предыдущих рассуждений некоторые результаты, касающиеся конформных преобразований. Одно из значений функции
преобразует плоскость w с разрезом
во внутренность единичного круга плоскости z. Та же функция преобразует часть плоскости, находящуюся вне эллипса (32), при каком-либо фиксированном
во внутреннюю часть круга с центром в начале и радиусом
, где
Если мы возьмем другое значение функции
, то получится часть плоскости, лежащая вне указанной окружности, если взять
. Точно так же одно из значений функции
конформно преобразует часть плоскости w, лежащую между двумя ветвями гиперболы (33), на угол плоскости z, определяемый неравенствами:
где
.
Подробное рассмотрение конформных отображений, связанных с кривыми второго порядка, имеется в книге И. И. Привалова «Введение в теорию функций комплексного переменного».