Лекция 9. Ортогональность волновых функций

Проблема ортогональности волновых функций — решений волнового уравнения — в трехмерном и одномерном случаях имеет ряд особенностей; поэтому их целесообразно рассмотреть отдельно.

А. Одномерный случай. Волновые функции (без зависимости от времени) имеют вид Произведем следующие очевидные операции:

Проинтегрируем обе части этого равенства на отрезке

Обычно при . Устремляя пределы в (9.2) к бесконечности, а получаем:

Обсудим другие типы граничных условий.

Периодическое движение [граничное условие вида

Движение в сегменте (бесконечно большой потенциал в точках а

Общий случай. Очевидно, в общем случае можно записать

где интегрирование проводится по всей области определения решения. При из (9.6) следует, что

Это означает, что два независимых решения волнового уравнения ортогональны друг другу, так как их скалярное произведение (9.7) обращается в нуль.

В одномерных задачах, как правило, каждому собственному значению энергии соответствует одно решение (с точностью до постоянного множителя). Если собственные функции нормированы, то

В этом заключается свойство ортонормированности волновых функций.

Разложение произвольной функции. Всякую непрерывную функцию можно разложить в ряд по собственным функциям системы. Разложение имеет вид

(Интегрирование проводится по всей области определения независимой переменной х.)

Б. Трехмерный случай. Собственные функции в этом случае зависят, вообще говоря, от всех трех пространственных переменных. Аналогично предыдущему имеем:

Проинтегрируем (9.11) по трехмерной области определения ограниченной замкнутой поверхностью внешняя нормаль к ней), применяя теорему Гаусса-Остроградского:

Обычно решение выбирается таким, что на границе области интегрирования, т.е. на поверхности а, функции при этом (9.12) принимает вид

в случае

Когда каждому собственному значению энергии соответствует одна и только одна собственная функция, т. е. если ни одно состояние системы не вырождено, нормировка на единицу дает:

Этим соотношением определяется ортогональность полной системы (нормированных) собственных функций невырожденной системы.

Случай вырождения. И в этом случае возможно выбрать базис в гильбертовом пространстве (систему независимых функций) таким образом, чтобы соотношение (9.15) сохраняло силу.

Волновые уравнения вида (9.10) представляют собой линейные дифференциальные уравнения. Если данному значению соответствуют несколько собственных функций то можно составить линейную комбинацию этих функций; полученная функция также будет решением исходного уравнения, соответствующим тому же собственному значению

Пусть, например, существенно не равна 12. Нормируем на единицу и выберем ее в качестве новой собственной функции: Вместо возьмем сначала «промежуточную» функцию

«Промежуточная» ортогональна к функции действительно, благодаря единичной нормировке

Используя теперь введенные функции

получаем две функции, удовлетворяющие равенству (9.15) — свойству ортогональности.

Вывод. Даже в тех случаях, когда имеет место вырождение, возможно и удобно выбрать такой функциональный базис, в котором удовлетворяется требование ортогональности (9.15). Укажем трехмерный аналог разложения (9.9):

Важные моменты.

а. Полнота системы собственных функций.

б. Роль комплексных решений.

в. Решение зависящего от времени уравнения Шредингера. Решение волнового уравнения, не зависящего от времени (стационарные состояния), вообще говоря, следует умножить на экспоненту, являющуюся решением уравнения В общем случае состояние с неопределенной энергией (смесь состояний) описывается, как обычно, линейной комбинацией вида

г. Смысл