Лекция 30. Системы тождественных частиц

Удобно начать со случая системы двух тождественных частиц. Тогда из самого понятия тождественности следует, что волновая функция должна удовлетворять одному и тому же уравнению Шредингера при перемене частиц местами (при этом не изменяется также и собственное значение энергии):

Ввиду эрмитовости гамильтониана в случае отсутствия вырождения по энергии (при данном можно заключить, что

однако

откуда следует, что

Имеем две возможности:

Когда собственное значение вырождено, равенство (30.2) может и не выполняться. В этом случае, однако, вместо базисных функций можно взять их линейные комбинации:

либо симметричная (по координатам тождественных частиц) комбинация,

либо антисимметричная (по координатам тождественных частиц) комбинация.

Обе новые функции снова оказываются собственными функциями гамильтониана при том же значении энергии и картина совпадает с уже рассмотренной, однако новые функции обладают тем преимуществом, что автоматически оказываются ортогональными друг другу. Конечно, новые функции нетрудно нормировать.

Общий вывод:

Волновую функцию системы, состоящей из двух тождественных частиц, всегда можно выбрать симметричной либо антисимметричной относительно операции перестановки этих частиц.

Теорема. Если волновая функция в начальный момент времени является симметричной (антисиммет ричной), то в любой другой момент времени эта функция сохраняет свои свойства симметрии.

Доказательство.

Гамильтониан симметричен относительно перестановки тождественных частиц, поэтому функция обладает той же симметрией, что и функция

Таким образом, ясно, что производная волновой функции по времени

также симметрична (антисимметрична) в тот момент, когда функция симметрична (или соответственно антисимметрична). Следовательно, волновая функция сохранит свои свойства симметрии и в последующий момент так как ее изменение определяется производной, взятой в момент времени Распространение этого доказательства на конечный интервал времени по методу индукции очевидно. Существуют два различных типа элементарных частиц.

Постулат. Частицы одного типа (электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и т. д.) описываются антисимметричными волновыми функциями; частицы же другого типа (фотоны, -мезоны и т. д.) описываются симметричными волновыми функциями.

Таким образом,

где знак берется для волновых функций фотонов, -мезонов, а знак для волновых функций электронов, протонов, нейтронов,

Важный факт. Паули показал, что частицы, описываемые антисимметричными волновыми функциями, имеют полуцелый спин, частицы, описываемые симметричными волновыми функциями, — целый спин.

Исключения из этого правила неизвестны.

Рассмотрим сложную частицу (например, атом), состоящую из других частиц (например, из электронов, протонов и нейтронов).

Такая сложная «частица» имеет четность где число антисимметричных частиц, входящих в данную сложную частицу.

Примеры симметричных и антисимметричных «частиц»:

Случай системы, состоящей из независимых (не взаимодействующих между собой) частиц. Гамильтониан такой системы представляет собой сумму гамильтонианов отдельных частиц:

Не будем сначала предполагать, что частицы, составляющие систему, тождественны. Собственные функции этой системы, очевидно, выражаются как

причем

Собственные значения энергий отдельных частиц задаются уравнениями

Вывод. Собственные функции систем независимых частиц суть произведения собственных функций отдельных частиц; соответствующие собственные значения равны суммам собственных значений для отдельных частиц.

Теперь предположим, что частицы, составляющие систему, тождественны.

Тогда волновые функции всех состояний одной и той же системы, состоящей из тождественных частиц, должны иметь одинаковую симметрию; в противном случае волновая функция состояния, представляющего собой суперпозицию состояний различной симметрии, не будет ни симметричной, ни антисимметричной. Поскольку сначала предполагалось, что частицы, составляющие систему, независимы друг от друга, но в то же время не тождественны, то волновая функция такой системы не имеет в общем случае определенной симметрии.

Из этого следует, что собственные функции вида (30.13), вообще говоря, неприемлемы, так как

Функции вида (30.14) являются решениями уравнения

Другие вырожденные решения, обладающие такой же энергией, получаются путем перестановок нижних индексов в (30.14). (Все перестановки индексов обозначим соответственно через Тогда симметричное решение

строится по следующему рецепту:

где суммирование производится по всевозможным перестановкам, а нормировка будет указана ниже [см. (30.21)]. Рецепт же построения антисимметричного решения следующий:

или, что то же,

(это детерминант, а не матрица!). Нормировочный множитель к нему см. в формуле (30.22).

Волновые функции (30.16) или (30.17) выбираются соответственно типу частиц.

Принцип Паули. В случае антисимметричных частиц решение (30.18), очевидно, обращается в нуль, если состояния двух или более частиц, обозначаемые индексами совпадают. Следовательно, в случае таких частиц (электронов, протонов, нейтронов и т. д.) система не может находиться в таком состоянии, в котором (полностью определенные) состояния хотя бы двух входящих в нее тождественных частиц совпадают.

Числа заполнения. Величины представляющие собой числа тождественных частиц, находящихся в индивидуальных состояниях причем (общее число частиц) и называются числами заполнения.

Сделаем теперь некоторые дополнительные замечания о волновых функциях.

а. Частицы с симметричными волновыми функциями. Собственная функция (30.16) полностью определяется числами заполнения (30.20); следовательно, задание чисел заполнения полностью определяет состояние системы. Перепишем выражение для волновой функции (30.16) с нормировочным множителем:

б. Частицы с антисимметричными волновыми функциями. Собственная функция (30.17) или (30.18) также полностью определяется числами заполнения (30.20), однако единственными возможными значениями этих чисел могут быть нуль и единица. Перепишем выражение для волновой функции (30.18) с нормировочным множителем:

Квантовая статистика определяется свойствами частиц, образующих квантовомеханическую систему. Статистический вес состояния, определяемого числами заполнения (30.20), равен

В статистике Больцмана

В статистике Бозе-Эйнштейна 1

В статистике Ферми-Дирака

Рекомендуется обсудить вопрос о том, что по сравнению со статистикой Больцмана статистика Бозе-Эйнштейна благоприятствует накоплению частиц в одном и том же состоянии, а статистика Ферми-Дирака препятствует увеличению числа частиц в одном и том же состоянии.