Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Лекция 10. Линейные операторы1. Функции задаются на многообразии. Примерами многообразий могут служить числовая ось х (одномерное пространство), трехмерное пространство чисел х, у, z, точки на поверхности сферы, конечный набор точек и т. д. 2. Функции можно интерпретировать как векторы в пространстве. При этом пространство может иметь конечное или бесконечное число измерений (гильбертово пространство). 3. Оператор. В общем случае оператор О определяет правило получения функции
Операциям возведения в степень, возведения в степень с последующим умножением на число, однократного и многократного дифференцирования, умножения на некоторую функцию и т. д. можно сопоставить соответствующие операторы. Тогда действие оператора О на функцию Например: Важно, что существует единичный, или тождественный, оператор, обозначаемый как 1 или 1, действие которого на функцию дает функцию, тождественно равную исходной:
т.е. единичный оператор оставляет функцию неизменной. 4. В квантовой механике важную роль играют линейные операторы, определяемые свойством
где Примерами линейных операторов могут служить: единичный оператор: оператор умножения на число оператор умножения на функцию Напротив, оператор, сопоставляющий некоторой функции ее куб, не является линейным оператором. Начиная с этого момента в дальнейшем будут рассматриваться только линейные операторы. 5. Сумма (разность) линейных операторов определяется как оператор
Свойства коммутативности (перестановочности) в сложении
ассоциативности
и т.д., очевидно, присущи линейным операторам. 6. Умножение оператора на число эквивалентно умножению на это число результата действия оператора:
7. Произведение двух линейных операторов
и свойством дистрибутивности
Перестановочное свойство умножения в общем случае не имеет места:
т. е. два линейных оператора
8. Коммутатор, или перестановочное соотношение, для операторов
Коммутатору, очевидно, присуще следующее свойство:
В качестве примера можно взять играющее важную роль в квантовой механике перестановочное соотношение
в справедливости которого нетрудно убедиться непосредственно. 9. Степени операторов определяются как операторы, действие которых эквивалентно последовательному действию оператором-основанием на данную функцию столько раз, сколько указано в показателе степени:
например, для
Очевидны следующие свойства степеней операторов:
[Формула (10.13) означает, что любые две степени одного и того же оператора коммутируют между собой.] 10. Оператор, обратный А, обозначим как А~х.
Укажем свойства обратного оператора:
иначе говоря,
где В тоже время
Из (10.15) и (10.16) вытекает, что
11. Функции операторов. Формальное определение: пусть имеются некоторая аналитически заданная функция
пользуясь тем обстоятельством, что понятия суммы и степени операторов уже были введены. Заметим, что это определение не всегда имеет смысл. Пример 1. Для оператора
отсюда
Таким образом, получается оператор сдвига аргумента функции. Пример 2. Для оператора
т.е. получается оператор умножения на 12. Функция двух (или более) операторов. Попытаемся обобщить равенство (10.18) следующим образом:
где
Это определение, однако, неоднозначно, если только операторы
Иногда в случаях, подобных данному, можно произвести симметризацию произведений операторов, положив, например,
|
1 |
Оглавление
|