Лекция 16. Унитарные матрицы и преобразования

Пусть эрмитовы операторы, а

и

Задача. Требуется найти матрицу преобразования которая переводила бы

Решение. Умножим это равенство справа на

Суммируя по и используя свойство (15.23), получаем:

Здесь обнаруживается аналогия с преобразованиями координат. Преобразованию векторов при переходе от одной системы координат к другой можно придать матричную форму. Как станет ясно в дальнейшем, при таких преобразованиях особенно важную роль играют преобразования, описываемые унитарными матрицами.

Определение. Матрицу называют унитарной, если она имеет следующее определяющее свойство:

Теорема. Матрица унитарна:

Доказательство.

Производя эрмитово сопряжение, получаем:

а на основании (15.20) и (15.23) находим окончательно:

Теорема. Если матрица унитарна, то

Доказательство.

Теорема. Если матрица унитарна, ортонормированная система векторов, то результат преобразования (ртакже дает ортонормированную систему векторов.

Доказательство очевидным образом следует из теоремы (16.7). Вывод. Унитарные преобразования переводят один ортонормированный базис в другой.

Пример 1. Преобразование ортонормированной системы функций-«векторов»

с помощью унитарной матрицы дает другую систему ортонормированных «векторов»

Пример 2. Преобразование координат «вектора»

к новым «осям»

где «старые», а «новые» координаты «вектора» производится с помощью матрицы

Зная, таким образом, связь между базисами, найдем теперь связь между «старыми» и «новыми» координатами:

[где в последнем шаге использована формула (16.9)]. В матричной

записи для вертикальных столбцов,

это соотношение принимает вид

Вывод. Преобразование координат описывается той же матрицей, что и обратное преобразование базисных векторов.

Преобразование, индуцируемое матрицей-оператором А.

Вопрос. Если матричный оператор А определяет некоторое линейное преобразование координат х некоторого вектора, то какое соответствующее линейное преобразование А действует на координаты х этого же вектора в другой координатной системе?

Ответ. Пользуясь преобразованием (16.116), заметим, что

Отсюда

для произвольных значений х. Следовательно,

и наоборот,

Таким образом, матрица преобразует оператор А в оператор А.

Свойства преобразований. Рассмотрим ряд свойств матриц-операторов, широко используемых в квантовомеханических расчетах.

Доказательство этих свойств производится путем непосредственной проверки.

2. Алгебра операторов совпадает с алгеброй операторов

3. Оператору А соответствуют те же самые собственные значения, что и оператору А, а их собственные функции связаны между собой следующим образом:

или

Определение. След, или шпур, квадратной матрицы А есть

т.е. равен сумме элементов, стоящих на главной диагонали.

Существенно, что шпур имеет смысл только для квадратных матриц.

Полезно знать следующее свойство шпура: циклическая перестановка матриц в произведении под знаком оставляет значение шпура этого произведения неизменным:

Теорема. Шпуры матриц совпадают:

Задача. Определить унитарную матрицу приводящую заданную эрмитову матрицу А к диагональному виду А:

Решение (см. (16.9)).

В самом деле,

(Здесь использованы равенства Таким образом, матрица А преобразована в диагональную матрицу А, на главной диагонали которой стоят собственные значения матрицы А. Матрица преобразует первоначальный базис в базис Это означает, что А приводится к диагональному виду с помощью перехода к новому координатному базису, а именно к базису, в котором роль базисных векторов играют ее собственные функции. Отсюда вытекает

Теорема. Шпур оператора А равен сумме его собственных значений:

Доказательство очевидно следует из (16.17) и (16.16). Теперь можно дать новое определение матрицы Сделаем это в три шага.

Определение. Первый шаг: приведем матрицу А к диагональному виду А методом (16.17):

Второй шаг: возьмем в качестве матрицу

Третий шаг: вернемся к прежнему базису

С помощью равенства (16.13) легко доказать справедливость этого определения. Определение (16.19) эквивалентно общему определению, данному в лекции 10, во всех случаях, когда последнее имеет смысл. Однако определение (16.19) не накладывает ограничений на функции

Теорема. Перестановочное соотношение выполняется и тогда, когда функции от матрицы определены правилом (16.19).

Доказательство.

Коммутатор очевидно, равен нулю, так как обе матрицы диагональны. Воспользовавшись теперь преобразованием в соответствии с (16.13), легко получить равенство (16.20), что и требовалось.

Обратная теорема. Если матрицы коммутируют, причем А — невырожденная матрица, то имеет место соотношение

Доказательство.

Приведем А к диагональному виду, следуя методу (16.17):

Сделаем то же с матрицей В:

(при этом заведомо неизвестно, диагональна ли матрица В). Из следует, что так что в компонентах

Но поскольку при то отсюда следует, что при Следовательно, матрица В также диагональна и равна

Тогда можно записать равенство если в качестве функции взять одну из того бесконечного множества функций, для которых

Остается лишь произвести обратное преобразование и использовать определение (16.19). Теорема доказана.

Заметим, что по ходу дела фактически была доказана следующая

Теорема. Если невырожденная матрица В коммутирует с диагональной матрицей А, то матрица В должна быть также диагональна.

Если в теореме (16.22) диагональная матрица А является вырожденной, то В не обязательно должна быть диагональна, но имеет характерный вид, который можно усмотреть из следующего примера, с легкостью поддающегося обобщению:

Важное приложение. Устанавливаемые теоремой (16.22) и обобщением (16.23) факты находят в квантовой механике важное приложение:

Пусть эрмитовы матрицы и пусть Разрешим задачу на собственные значения оператора А, как указано в лекции 15 [см. (15.13) и (15.14)], затем приведем к диагональному виду по (16.17) матрицы А и В:

Матрицы коммутируют; значит, если матрица А невырожденная, то, по (16.22), матрица В диагональна: тем самым решена задача на собственные значения оператора В.

Если же А вырожденная, то В имеет вид, подобный (16.23); тогда ее секулярное уравнение распадается на более простые уравнения, порядок которых равен кратности вырождения собственных значений матрицы А.