Лекция 1. Аналогия между оптикой и механикой

Между основными представлениями механики и оптики существует глубокая и нетривиальная аналогия. Это обстоятельство дает возможность составить следующий «словарь», позволяющий переводить утверждения механики на язык оптики и наоборот.

(см. скан)

В оптике

Разберем прежде всего следующее сопоставление:

из принципа Мопертюи из принципа Ферма

Доказательство принципа Мопертюи. Варьируя интеграл (1.2) (в предположении его экстремума):

пользуясь равенствами а затем проводя в первом слагаемом полученного таким образом равенства интегрирование по частям, мы придем ввиду произвольности вариаций внутри области интегрирования к уравнению экстремали:

Используя равенства

получим окончательно:

Отсюда следует справедливость принципа (1.2), так как из него вытекают правильные уравнения движения.

Доказательство принципа Ферма. Заметим сначала, что очевидно следующее соответствие:

Самое правое из этих равенств констатирует минимальность числа длин волн, укладывающихся на протяжении луча. Таким образом, определяемое принципом Ферма направление соответствует положительной интерференции (главному максимуму), т.е. действительному направлению распространения света. Тем самым подтверждена вся серия равенств, включая самое левое — собственно принцип Ферма. Из сопоставления принципов (1.2) и (1.3) следует, что

если выполняется соотношение

где произвольные пока функции частоты.

Вид функций определим из условия, что скорость материальной точки

эквивалентна групповой скорости волнового пакета:

Вывод формулы для групповой скорости. Волновой пакет, гармоники которого укладываются в малом интервале частот, можно представить как

Если все то в точке должна иметь место положительная интерференция всех гармоник (главный максимум). Найдем теперь положение волнового пакета при любом имея в виду, что оно всегда определяется координатой его максимума. Для максимума пакета справедливо равенство

из которого следует, что . В духе нашей оптикомеханической аналогии эта связь между эквивалентна равенству Сравнение двух последних выражений дает формулу для групповой скорости

Вернемся теперь к условию эквивалентности скорости материальной точки и групповой скорости волнового пакета. Его можно записать в виде

Отсюда, используя условие (1.4), получаем:

Рассмотрим полученный результат. Функция изменяется от точки к точке независимо от следовательно, величину также можно рассматривать как независимую переменную. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в уравнении (1.6а), находим условия

Первое из них дает тогда следовательно,

Введем обозначение тогда Положим здесь выбрав подходящим образом начало отсчета энергии. В результате имеем следующие формулы:

Фазовая скорость (1.9) определяет во всех точках значения показателя преломления и дисперсию.

Перейдем теперь к циклической частоте и введем обозначения

Окончательный результат.

Величину А называют дебройлевской длиной волны. Исследование явления дифракции материальных частиц позволяет определить а следовательно, и Приведем их численные значения:

Константа (или называется постоянной Планка.