Лекция 22. Случай вырождения и квазивырождения. Эффект Штарка на водороде

Процедура теории возмущений, изложенная в лекции 21, теряет смысл, когда разности

или очень малы (квазивырождение) [см. (21.18) и (21.16)]. В таких случаях необходим другой подход.

Запишем собственные функции невозмущенной системы; пусть

Будем искать приближенные решения задачи (в первом порядке) в форме

где малые первого порядка, предположительно велики.

Искомая функция должна приближенно соответствовать гамильтониану заданному, как и раньше, в виде

так что уравнение Шредингера имеет вид причем

добавка первого порядка к собственным значениям энергии системы). Подставляя в уравнение Шредингера функцию (22.2), получаем в первом приближении:

Но так как, по определению, и — собственные функции оператора уравнение (22.3а) переписывается в виде

Умножим это уравнение слева на функцию где в силу ортонормированности функций нулевого приближения получим:

Это секулярная задача. Условие ее разрешимости —

Условие разрешимости представляет собой алгебраическое уравнение степени для определения энергий соответствующих первым вырожденным или квазивырожденным состояниям невозмущенной системы.

Затем находим: причем знаменатель велик!

Эти коэффициенты дают поправку к волновой функции в первом порядке теории возмущений.

Следует отметить роль законов сохранения при упрощении секулярного уравнения (22.4) в процессе его решения.

Пример. Эффект Штарка. Рассмотрим сдвиг энергетических уровней атома водорода во внешнем электрическом поле напряженности для уровней с Штарка).

Будем считать, что электрическое поле направлено по оси так что возмущающий гамильтониан (энергия взаимодействия электрона с внешним полем) равен

где напряженность электрического поля.

Возмущающий гамильтониан (22.6) является нечетной функцией Таким образом, вычисление диагональных элементов по (21.13) с невозмущенными функциями даст нулевой результат. Отсюда следует, что в основном состоянии атома водорода эффект Штарка в первом порядке отсутствует, так как при вырождения нет (используется формализм предыдущей лекции); именно поэтому следует рассмотреть следующую оболочку

Невозмущенное состояние с главным квантовым числом четырехкратно вырождено, так что энергии уровней

совпадают (см. рис. 7, стр. 42).

Из того факта, что координата коммутирует с следует:

так что возмущение влияет только на состояния с одинаковым значением магнитного квантового числа то, т. е. на состояния (смешивает их), в то время как два других уровня как и в отсутствие вырождения, сохраняют невозмущенные значения энергии.

В первом приближении добавочную энергию уровня можно записать [см. (21.15)] в виде

(вследствие нечетности и четности Аналогичный результат получается и для уровня Следовательно, уровни в первом приближении оказываются невозмущенными. Волновые функции

уровней имеют вид

Матричные элементы как и матричный элемент (22.9), равны нулю.

Вычислим следующий матричный элемент:

где боровский радиус (8.19). те

Матрица, соответствующая возмущающему гамильтониану,

Отсюда следуют энергетические уровни (в первом приближении) и соответствующие волновые функции (в нулевом приближении):