Лекция 14. Матрицы

Функции на многообразии. На многообразии, включающем конечное число точек (назовем их некоторую функцию можно понимать как совокупность (комплексных) чисел Переход к непрерывному многообразию (например, к пространству одного или более измерениий) можно рассматривать как предельный переход при этом функцию в дискретных пространствах (до предельного перехода) можно изображать с помощью таблиц.

Перейдем теперь к рассмотрению многообразия, включающего лишь точек.

Функция на многообразии как вектор. Итак, функция

рассматривается как вектор с комплексными компонентами -мерный комплексный вектор). Переход к пределу (причем возможен случай даже бесконечного непрерывного множества) ведет к отождествлению понятий функции и вектора в гильбертовом пространстве. Ниже будут доказаны теоремы для ограниченного числа точек в ряде случаев эти теоремы могут быть обобщены. Введем понятие скалярного произведения функций

[это аналог формулы (11.4)]. Заметим, что

Модуль «вектора» f определяется соотношением

Единичный «вектор» представляет собой такой «вектор», модуль которого равен единице:

Векторы ортогональны, если или, что то же самое,

Базис. Введем базис из линейно независимых векторов:

Необходимым и достаточным условием линейной независимости векторов является отсутствие какой-либо линейной комбинации их, равной нулю, когда хотя бы один коэффициент в ней отличен от нуля. Это условие можно выразить в форме

Любую функцию можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов

Чтобы определить коэффициенты в таком разложении, необходимо решить систему линейных уравнений, причем детерминант, составленный из коэффициентов при неизвестных, должен быть отличен от нуля.

Ортонормированный базис. Базис называют ортогональным и нормированным, если

В этом случае коэффициенты разложения определяются особенно просто. Действительно, умножая левую и правую части равенства (14.9) скалярно на и используя условие ортогональности (14.10), очевидно получаем:

Таким образом, можно записать тождество

Операторы. Оператор в есть операция, при которой «вектор» переходит в «вектор» определенный на том же многообразии:

Равенство (14.13) означает, что «вектор равен результату действия оператора в на вектор Таким образом, компоненты вектора являются функциями от компонент вектора

Иначе говоря, функций каждая из которых зависит от переменных, в совокупности определяют оператор в.

Линейные операторы. Линейные операторы определяются (аналогично случаю, рассмотренному в лекции 10, стр. 49) свойством

где постоянные, а произвольные «векторы».

Теорема 3. На конечном многообразии самый общий линейный оператор сводится к линейной однородной комбинации, иначе говоря,

или

где постоянные.

Доказательство.

Оператор (14.16), очевидно, линейный. Требуется доказать, что он имеет форму, единую для всех линейных операторов. Допустим, что

оператор в, определенный по (14.14), является линейным. Воспользуемся равенством (14.15) в форме

где функции, бесконечно малая константа; тогда

В последнем выражении член разложен в ряд Тейлора в окрестности каждой его «точки» а затем члены разложения, содержащие бесконечно малые порядка, выше первого, были опущены. Сравнивая этот результат с условием линейности (14.17), находим:

Коэффициенты в этой сумме не зависят от компонент и, следовательно, постоянны, что и требовалось доказать.

В дальнейшем будут рассматриваться только линейные операторы типа (14.16).

Матричное представление операторов. Линейный оператор (14.16), записанный в виде квадратной -матрицы, составленной из коэффициентов имеет вид

(оператор-матрицу не следует смешивать с детерминантом той же матрицы; детерминант представляет собой одно число).

Можно ввести также прямоугольные матрицы строк столбцов). Например, «вектор» можно записать в виде вертикального столбца (матрицы )

Алгебра матриц. Определим основные операции над матрицами:

Умножить матрицу на число а значит умножить все ее элементы на число а: 20)

Сложение и вычитание (допустимое только для матриц, имеющих одинаковое число строк и одно и то же число столбцов, причем число строк и число столбцов не обязательно должны совпадать) приводит к матрице-сумме (разности), все элементы которой являются суммами (или разностями) соответствующих элементов первоначальных матриц:

Теоремы. Элементарные свойства операторов (14.15) совпадают со свойствами матриц.

Это означает, что алгебра матриц, определяемая операциями (14.20) и (14.21), полностью эквивалентна алгебре линейных операторов, определенных свойством (14.15).

Произведение двух матриц

определено только в том случае, если матрица А имеет столько же столбцов, сколько матрица В строк. Операция умножения двух матриц

определяется следующими свойствами:

Произведение есть матрица

Перемножение матриц дает матрицу С, у которой столько строк, сколько их у матрицы А, и столько столбцов, сколько у матрицы В:

Элементы матрицы, получаемой в результате операции умножения, находят по правилу

Правило перемножения: Строка х Столбец.

Чрезвычайно важный частный случай. Произведение квадратных матриц подобных матрице (14.18), имеет следующие свойства:

а. Произведение также является квадратной матрицей порядка

Произведение матриц, взятых в обратном порядке, есть также квадратная матрица порядка но в общем случае произведение В А отличается от

Вплоть до формулы (14.34) речь будет идти исключительно о квадратных матрицах.

Теорема. Детерминант произведения двух квадратных матриц равен произведению детерминантов этих матриц:

Доказательство этой теоремы очевидно: умножение квадратных матриц производится точно по такому же правилу, как и перемножение детерминантов (Строка х Столбец).

Определение. Коммутатор или перестановочное соотношение (допустимое лишь в случае квадратных матриц) есть форма вида

Очевидное свойство коммутатора:

Определение. Единичная матрица есть матрица вида

т.е. квадратная матрица, элементы главной диагонали в которой суть единицы, а остальные элементы — нули.

Свойства единичной матрицы:

Эти свойства непосредственно следуют из (14.26). Определение. Матрица В, обратная матрице А,

определяется соотношением

Вопрос. Когда существует обратная матрица?

Ответ. Обратная матрица существует, когда так как лишь в этом случае реализуемо правило

Рекомендуется проверить это правило непосредственно.

Два свойства обратных матриц:

Важное свойство. Для матриц, представляющих операторы [например, (14.16)], все данные выше определения алгебраических операций могут быть выведены также из алгебры операторов, изложенной в лекции 10, и согласуются с ней (рекомендуется провести проверку этого утверждения шаг за шагом для всех операций). В частности, для квадратных матриц можно установить функциональную зависимость одной матрицы от другой точно так же, как это было сделано в лекции 10 [см. равенства (10.18) и (10.21)].

Определение. Произведение квадратной матрицы на вертикальную матрицу-столбец [соответственно матриц типа (14.18) и (14.19)] определяется как

где вертикальный столбец, полученный согласно правилу умножения матриц (14.25) в соответствии с выражениями (14.16).

Следовательно, равенство (14.35) можно понимать с равным правом

Оператор действуя на функцию дает функцию

Транспонированная матрица.

Транспонированная матрица, соответствующая матрице А, будет обозначаться как А.

Определение. Матрица А, в которой строки и столбцы поменялись ролями, или (эквивалентно)

Частные случаи. Пусть А — квадратная матрица (например, матрица-оператор); тогда А получается путем замены каждого элемента матрицы А на элемент, расположенный симметрично данному относительно главной диагонали.

Пусть вертикальный столбец (функция или «вектор»); тогда есть горизонтальная строка

Матрица, комплексно сопряженная данной. Такая матрица будет обозначаться как А.

Определение. Матрица А есть комплексно сопряженная матрице А, если каждый ее элемент — комплексно сопряженное соответствующего элемента матрицы А: (14.38)

Матрица, эрмитово сопряженная данной. Операция эрмитова сопряжения играет чрезвычайно важную роль в квантовой механике. Матрицу, эрмитово сопряженную матрице А, мы будем обозначать как

Определение. Матрица получается из А путем последовательного применения к матрице А операций транспонирования и комплексного сопряжения: (14.39)

Пример 1.

Пример 2.

Свойства эрмитово сопряженных матриц. Пусть «вертикальные столбцы», т.е. функции. Тогда [см. определение (14.23)-(14.25)]

Произведение есть матрица с одной строкой и одним столбцом, т.е. просто число:

Пусть матрицы с таким (вообще говоря, неодинаковым для разных матриц) числом строк и столбцов, что может быть определено их произведение, т.е. матрица

Чтобы такое произведение существовало, необходимо, чтобы число строк у матрицы, получаемой при каждом шаге перемножения, равнялось числу столбцов следующей матрицы. Важное свойство произведения (14.42а) состоит в том, что (14.42)

т.е. эрмитово сопряженное произведение матриц есть произведение в обратном порядке эрмитово сопряженных матриц. Справедливость этого утверждения очевидным образом вытекает из приведенных определений операций.

В случае матрицы состоящей из одной строки и одного столбца (14.41), эрмитово сопряжение совпадает с обычным комплексным сопряжением: