Лекция 18. Момент импульса

Момент импульса, или момент количества движения, в квантовой механике, как и в классической физике, определяется выражением (в квантовой механике — операторным

В компонентах

Оператор квадрата момента импульса строится, как обычно:

Нетрудно доказать следующие перестановочные соотношения:

или

При использовании системы единиц, в которой перестановочные соотношения (18.4) принимают в обозначениях (18.2) вид

Теперь нужно перейти к представлению, в котором матрица диагональна.

Найдем собственные значения оператора Операторы (18.2) и (18.3) в полярных координатах запишутся как

где угловая часть лапласиана (6.11).

Из выражений (18.2) видно, что любые две компоненты не коммутируют друг с другом и, следовательно, в любом представлении может быть диагональной только одна из трех компонент Однако все три компоненты одновременно коммутируют с оператором [см. (18.6)]. Поэтому одновременно с матрицей-оператором можно диагонализировать одну из компонент (например, Таким образом, в квантовой механике наблюдаемыми могут одновременно быть и одна из компонент

Вывод.

Здесь магнитное, орбитальное квантовые числа.

Собственные функции оператора (в единицах

Итак, собственные функции -кратно вырождены по магнитному квантовому числу (это вырождение накладывается еще на вырождение радиальных собственных функций).

На каждое значение приходится ( значений

Укажем в использованном представлении конкретный вид матриц

(см. скан)

где (см. у Шиффа, стр. 170).

Справедливость этих формул можно доказать, исходя либо из свойств сферических гармоник, либо из перестановочных соотношений. В дальнейшем мы проведем более общее рассмотрение свойств оператора момента импульса.

В заключение выпишем вид матриц момента при

(см. скан)

Отличные от нуля матричные элементы последних двух неэрмитовых операторов равны соответственно

Замечание. Оператор переводит состояние в состояние а оператор переводит то же состояние в состояние так что оператор увеличивает, а оператор уменьшает значение на единицу.