Лекция 7. Случай центральных сил

Важную роль в теории атома играют центральные силы; потенциальная энергия в случае центральных сил зависит лишь от радиальной координаты (если источник поля совпадает с началом сферической системы координат). Волновое уравнение при этом имеет вид

Перепишем его в полярных (сферических) координатах:

Здесь оператор, определяемый формулой (6.11). Разложим по сферическим функциям:

Суммирование охватывает все значения индексов то, но в конкретных случаях оно может сниматься, говоря формально, благодаря специальному выбору коэффициентов разложения, входящих в Подстановка этого разложения в уравнение (7.2) дает:

Использовав (6.10), придем к уравнению

Умножая его на и интегрируя, получаем с учетом свойства (6.9):

Замечание. В этом уравнении уже не фигурирует число .

В дальнейшем оно будет отождествлено с магнитным квантовым числом. Не следует смешивать его с массой, обозначаемой той же буквой, но появляющейся всегда в характерных комбинациях [см., например, уравнение (7.5)].

Важно, что каждому решению уравнения (7.5) соответствует решений уравнения (7.1). Сделаем полезное преобразование

уравнение (7.5) примет вид

Каждому состоянию (т.е. определенному значению I) принято сопоставлять буквенное обозначение, именно

Позднее будет показано, что величина равна моменту импульса Уравнение для двух материальных точек в поле центральных сил. Это уравнение имеет вид

где Сделаем замену координат

В новых координатах лапласиан распадается на два оператора:

причем

где — приведенная масса. Уравнение (7.8) приобретает вид

Будем искать его решение в форме

Подставляя этот вид решения в (7.11) и производя обратное преобразование Фурье, получаем:

где

— приведенная энергия. Член представляет собой кинетическую энергию центра масс.

Вывод. Разделение координат на относительные и координаты центра масс носит здесь такой же характер и приводит к такому же разложению движения на движение центра масс и относительное движение пары частиц около друг друга, как и в классической механике!