Лекция 25. Теория спина Паули

Понятие спина.

Физически спин представляет собой собственный механический момент (момент импульса) частицы и является таким же первичным свойством частицы, как ее масса покоя. Спин ведет себя как векторная (точнее, псевдовекторная) величина. Итак,

Спин — это внутренняя степень свободы.

Рассмотрим в первую очередь спин электрона; проекция его на выделенную ось может принимать лишь два значения: +1/2 и —1/2. Волновая функция электрона при учете зависимости от спина — величины, имеющей два собственных значения, — становится «векторной» функцией, имеющей две компоненты Таким образом,

Спин — переменная, принимающая два значения.

Операторы спина. Общий вид матриц-операторов, действующих на новую переменную, таков:

Найдем вид трех операторов соответствующих новым физическим величинам — проекциям спина на координатные оси. Нормируем собственные функции этих операторов так, чтобы их собственные значения были равны ±1.

Отсюда следуют условия:

где направляющие косинусы вектора спина. Из (25.3) вытекают правила антикоммутации для компонент оператора спина

Выберем базис, в котором матрица диагональна:

Общая форма матрицы следует из условия ее эрмитовости:

Тогда из правила агах следует:

С другой стороны, Таким образом, матрица Эх должна иметь вид

Выберем значения фаз базисных векторов так, чтобы получить Тогда окончательно

Поскольку к матрице приложимы те же самые соображения, что и , получаем:

Но следует удовлетворить еще условию <тхду <тудх откуда

Следовательно, либо Попробуем исключить первый вариант матрицы . Пусть

Произведем теперь преобразование не меняющее общих свойств матриц:

Тогда унитарное преобразование дает спиновые операторы Паули в их стандартной форме (второй вариант):

Так как оба преобразования унитарны, то в целом преобразование также унитарно; тем самым доказана эквивалентность обоих выборов вида матрицы В дальнейшем будет использоваться стандартная (вторая) форма спиновых операторов.

Свойства операторов Паули. Прямо из (25.7) получим:

или в общем виде

Все эти свойства удобно выразить в виде одной легко запоминающейся формулы символ Леви-Чивита.

Вектор спина. Рассмотрим вектор

Из (25.12) для оператора следует соотношение

Оно имеет в точности форму соотношений (18.5) и (20.26). Следовательно, величину можно интерпретировать как собственный момент импульса (собственный механический момент) электрона. Очевидно,

Собственные значения равны кроме того,

Последнее явно напоминает собственные значения [см. (18.11)].

Вывод: Спиновый момент электрона

Магнитный момент. Из экспериментального эффекта Зеемана следует, что спину должен соответствовать магнитный момент

В точности такой же вывод следует из релятивистской теории электрона Дирака. В более точной теории, учитывающей радиационные поправки, Швингер в 1948 г. нашел:

что еще лучше согласуется с экспериментом.

При движении электрона во внешнем магнитном поле к гамильтониану (21.27) прибавляется член

Следует обратить внимание на характерное соотношение:

Темы для обсуждения:

1. Движение изолированного вектора спинового магнитного момента в постоянном или переменном магнитном поле.

2. Смысл «направления» вектора спина.