Лекция 33. Теория столкновений

Рассеяние на короткодействующем центральном потенциале. В этом случае естественно задаться следующим асимптотическим (при видом волновой функции:

где

Первый член (33.1) описывает плоскую падающую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси эта волна соответствует первоначальному потоку частиц, обладающих определенным значением импульса Второе слагаемое, имеющее вид радиально расходящейся волны, соответствует потоку рассеянных частиц.

Формула (33.1) приводит к следующему выражению для дифференциального сечения:

Разложим падающую волну в (33.1) в ряд по сферическим функциям:

Этот прием напрашивается ввиду центральной симметрии рассеивающего поля; вместе с тем ввиду существования выделенного направления (в падающей волне к на картину рассеяния накладывается аксиальная (цилиндрическая) симметрия, ответственная в разложении (33.4) за появление функций Бесселя

Используя асимптотику функций Бесселя

придем к выражению

(в волновой функции представляет интерес лишь асимптотика, так как рассеяние исследуется на больших расстояниях от центра).

Разложим по сферическим функциям также функцию

Подставив найденные разложения в формулу (33.1), получим:

Заметим, что сходящаяся и расходящаяся волны должны иметь равные амплитуды (сохранение числа частиц). Из этого условия следует, что

или

(Здесь путем введения вещественной величины учтена возможность различия фазы волн; в дальнейшем будем называть фазовым сдвигом или разностью фаз, соответствующих данному значению Радиальная волновая функция при этом должна зависеть от I и иметь вид

где асимптотически

Очевидно, разности фаз полностью определяют картину рассеяния; в частности, дифференциальное сечение обращается в нуль, если все фазы равны 0 или

Для определения сдвига фаз воспользуемся радиальным уравнением Шредингера в форме

или

Решение уравнения (33.12) ведет себя при малых значениях как

при больших как (33.13)

поведением решения (33.12) и определяются сдвиги фаз

Выразим через фазы используя формулы (33.9), (33.6) и (33.3):

интегрируя это выражение, получим полное сечение рассеяния (рис. 28)

Рис. 28. Поведение волновой функции в присутствии рассеивающего центра

При малых энергиях достаточно знать величину В этом случае

Тогда полное сечение принимает вид

Можно показать, что в простейших случаях при малых энергиях

Темы для обсуждения:

В качестве примеров полезно рассмотреть:

1. Рассеяние на кулоновском потенциале (см. у Шиффа, § 20).

2. Рассеяние на идеально твердой сфере и эффект теневой области (см. там же, стр. 132).

3. Рассеяние с поглощением.