Лекция 6. Сферические функции

Сферические функции в квантовой механике используются, как правило, при решении уравнения Шредингера в случае центральных сил (см. лекцию 7).

Полиномы Лежандра. Эти полиномы, определяемые дифференциальной формулой

на отрезке вводятся как решения уравнения Лежандра, к которому приводит ряд физических задач:

Нормировка полиномов Лежандра определяется интегралом

Два свойства полиномов Лежандра.

1. Они образуют полную систему ортогональных функций:

2. Полином порядка выражается через полиномы низших порядков рекуррентной формулой

С помощью (6.1) вычислим некоторые полиномы:

Альтернативное определение:

Здесь слева стоит производящая функция, а справа — ее разложение по степеням переменной причем роль коэффициентов разложения играют полиномы Лежандра.

Сферические (шаровые) функции. С помощью полиномов Лежандра строятся сферические, или шаровые, функции (сферические гармоники), определяемые как

для то О берется знак для берется знак

[Это правило можно записать короче так: нормирующая постоянная в (6.8) имеет знак

Нормировка и ортогональность сферических функций определяются равенством

Дифференциальное уравнение для сферических функций получается из уравнения Лапласа при применении метода разделения переменных; оно имеет следующий вид:

где угловая часть оператора Лапласа,

Некоторые свойства сферических функций:

везде, кроме начала координат

Полный лапласиан в сферических координатах имеет вид

Разложение произвольной функции по шаровым функциям (сферическим гармоникам):

Возможность такого разложения вытекает из свойств полноты и ортогональности системы сферических функции.

Явный вид некоторых сферических функций: