Лекция 5. Метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна

Метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна, называемый иначе квазиклассическим приближением, служит для приближенного решения некоторых задач квантовой механики, позволяя определить первые члены разложения волновой функции по постоянной Планка. ВКБ-метод применим только в тех случаях, когда уравнение Шредингера допускает разделение переменных, так что его можно взять в форме

Вводя обозначение

где V — классическая скорость, перепишем (5.1) в виде

Первый случай, Используя подстановку

запишем на основании (5.2) уравнение для

Если в качестве первой прикидки взять и то будет иметь место соотношение

следовательно, это предположение о виде у дает хорошую аппроксимацию решения уравнения (5.2) тогда, когда

Теперь положим:

где добавка малая, медленно меняющаяся величина (поэтому членами и можно будет пренебречь). Уравнение (5.4) при подстановке в него (5.6) принимает вид

откуда теперь интегрирование (5.6) дает:

Переходя к исходной волновой функции можно на основании (5.3) записать:

Таким образом, одно приближенное частное решение уравнения (5.2) найдено; другое его решение запишется как

Очевидно, решением (приближенным) будет также вещественная линейная комбинация функций (5.8) и

Это и есть искомое решение Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна ВКБ-решение).

Замечание. Величина пропорциональна времени, проводимому системой (в классическом смысле) в точке х.

Второй случай, Как и в случае находим здесь решение уравнения (5.2) в виде

Рис. 4 иллюстрирует случаи соответствующие решения и, а также поведение

Рис. 4

Сопряжение решений. Остается «сшить» полученные решения в точках, где функция меняет знак. Мы воспользуемся для этой цели следующей аналогией: уравнение

по виду напоминает уравнение (5.2) и имеет решение

где функция Бесселя, функция Неймана. Выбрав константы линейной комбинации (5.12) так, чтобы при решение стремилось к нулю, получим следующую асимптотику:

Вывод. Сравнивая этот результат с ВКБ-решением (5.9) и (5.10), можно заметить, что эти решения аналогичны друг другу, если на концах интервала, в котором добавить фазу Этот прием позволяет приближенно проследить поведение функции

Обсуждение. Пусть между и вне (рис. 5).

Рис. 5. К выводу условия квантования Бора-Зоммерфельда Разность фаз между равна

где число нулей волновой функции в интервале Так как переменная часть фазы, согласно (5.9), равна условие сшивания решений на интервале (изменение фазы) имеет вид

где классический импульс.

Вывод. Мы пришли к условию квантования Бора - Зоммерфельда,

Замечание. При движении вдоль замкнутого контура имеет место несколько иное условие квантования, а именно

Для движения на полном сегменте, ограниченном в точках бесконечно высокими потенциальными стенками, получим:

где равно числу нулей волновой функции внутри сигмента.