Лекция 19. Зависимость наблюдаемых от времени. Гейзенберговское представление

Унитарное преобразование Зависящее от времени уравнение Шредингера

может быть использовано для определения следующего унитарного преобразования, зависящего от времени:

Преобразование переводит вектор соответствующий моменту в вектор соответствующий моменту

Заметим, что в теории дифференциальных уравнений получают, интегрируя уравнение

на интервале от 0 до t, причем в качестве начального значения берется величина

Из теоремы (17.11) непосредственно следует, что оператор должен быть унитарным:

если

то

В частности, для волновой функции

Если гамильтониан не зависит от времени, явное выражение для имеет вид

что легко проверить, непосредственно подставив (19.6) в равенство (19.5), а затем в уравнение (19.1):

так как гамильтониан эрмитов оператор. В общем случае -матрица определяется уравнением

Шредингеровское представление. В этом представлении система описывается «вектором» состояния зависящим от времени.

Переменные во времени «векторные» компоненты амплитуды задаются в гильбертовом пространстве с не зависящим от времени базисом

Любая не содержащая временной зависимости наблюдаемая А, будь то х, или или любая другая функция координат и импульса, описывается матрицей в базисе Элементы этой матрицы не зависят от времени. Однако вероятность получить при измерении, проводимом в момент определенные результаты зависит от времени, так как вектор состояния в шредингеровском представлении является функцией времени.

Гейзенберговское представление. В этом представлении зависящая от времени прежняя амплитуда («вектор») состояния связанная со своим начальным значением через -матрицу соотношением

задается в зависящем от времени базисе векторов:

Компоненты «вектора» в базисе не зависят от времени и равны компонентам «вектора» в базисе так как выполняются соотношения

Содержание этих соотношений иногда кратко выражают в форме утверждения, что вектор состояния не зависит от времени. Однако лучше говорить, что вектор состояния оказывается отнесенным к сопутствующей ему системе координат и представляется постоянным лишь в этой системе.

Матричные элементы наблюдаемой А — функции координат и импульса, не содержащей явной зависимости от времени, постоянны во времени лишь при рассмотрении их в базисе но не в гейзенберговском базисе зависящем от времени.

Гейзенберговское уравнение движения. Соответствующая оператору А матрица при переходе от к моменту времени принимает вид

где А — не зависящая от времени матрица, описывающая наблюдаемую в шредингеровском базисе Найдем производную по времени от используя уравнения (19.76):

Приняв, как и в (19.12),

получим:

Это гейзенберговское уравнение движения для операторов, не зависящих явно от времени. Смысл можно понять, заметив, что среднее значение взятое по состоянию (0) в момент времени равно среднему значению А по состоянию в момент времени

Уравнение (19.14) обнаруживает явное сходство с соответствующим уравнением классической механики, в котором фигурируют скобки Пуассона. Поэтому коммутатор в правой части (19.14) обычно называют квантовыми скобками Пуассона от (см. также последние уравнения этой лекции).

Если гамильтониан не содержит явной зависимости от то из (19.14) следует, что

т. е. что

Это, однако, верно лишь при условии, что гамильтониан не зависит явно от времени.

Связь между (19.14) и уравнением Гамильтона.

Положим, что гамильтониан явно не зависит от времени. Перестановочные соотношения в простых случаях приводят к уравнениям

Отсюда с учетом (19.14) получим уравнения

которые являются уравнениями Гамильтона, имеющими ту же характерную форму, что и соответствующие уравнения классической механики.