Лекция 36. Электрон Дирака в центральном поле. Водородоподобный атом

Для описания центрально-симметричного электрического поля достаточно в формулах предыдущей лекции положить

где радиальная координата сферической системы координат. Гамильтониан для электрона с зарядом — находящегося в центрально-симметричном поле с (35.9)], имеет вид

Уравнения (35.13) в этом случае переписываются следующим образом:

Момент (34.35)

коммутирует с гамильтонианом (36.2), так как имеет место симметрия относительно поворотов около центра.

Диагонализируя операторы необходимо принять

Заметим, что матрица и подчиняется тем же перестановочным соотношениям, что и так что

Тогда уравнения (36.4) и (36.5) дают допустимые значения чисел

Из уравнений (36.3) и псевдоскалярных свойств произведения следует, что спиноры обладают противоположными четностями. Это обстоятельство приводит к следующим двум типам решений с (34.26) и (34.27)]:

Первый тип Волновая функция имеет две матричные компоненты

Здесь двухкомпонентные функции у играют роль сферических функций при решении задач с учетом спина. Заметим, что для них При подстановке их в волновое уравнение (36.3) с учетом соотношений

получим систему уравнений для определения

Полученные два уравнения первого порядка соответствуют одному нерелятивистскому радиальному уравнению второго порядка. Вспоминая, что в рассматриваемом случае найдем в нерелятивистском пределе, что функция принимает большие, а функция малые значения.

Второй тип В этом случае

т.е. сферические спинорные функции меняются в равенствах (36.8) местами и изменяется знак получившейся при этом функции Вместо уравнений (36.11) получим теперь два новых «зацепляющихся» уравнения:

В случае кулоновского потенциала

уравнения (36.11) и (36.13) могут быть решены точно (см. у Шиффа, § 44).

Пример (Водородоподобный атом). Основное состояние водородоподобного атома соответствует значениям квантовых чисел [используем первый тип решений (36.8) и (36.11)]. Уравнения (36.11) в этом случае принимают вид

где

Зададим решение системы в виде

где подлежащие определению константы. Подставляя эту функцию в уравнения (36.14), заметим, что она удовлетворяет им при

причем (36.16)

Кроме того,

или

где последовательные члены разложения энергии в ряд по степеням имеют соответственно смысл энергии покоя, энергии нерелятивистской задачи, первого релятивистского приближения и т.д.

Нормированное решение имеет теперь вид

Предлагается найти два нормированных решения для основного состояния, соответствующих электрону со спином, ориентированным «вверх» или «вниз», путем подстановки этих функций в выражения для волновых функций (36.8), взятых при