Лекция 4. Линейный осциллятор

В ряде областей физики и особенно в квантовой теории фундаментальную роль играет задача о линейном гармоническом осцилляторе. Классически такой осциллятор реализуется в системе, лишенной трения и подчиняющейся законам Ньютона, если в этой системе действует идеальная «возвращающая» упругая сила Гука

Потенциальная энергия линейного осциллятора имеет вид

и, следовательно, уравнение Шредингера записывается как

Положим

В этих обозначениях уравнение Шредингера принимает вид

Будем искать его решение в виде

Подставляя решение (4.5) в уравнение (4.4), приходим к уравнению для функции

решение его представим в виде ряда по степеням

Подстановка этого выражения в (4.6) дает рекуррентную формулу для коэффициентов

откуда видно, что существуют два независимых решения, соответствующих четным и нечетным При функция ведет себя как если только не выполнено условие

где любое неотрицательное целое число. Случай экспоненциальной асимптотики недопустим с физической точки зрения; в случае же (4.9) решение уравнения (4.6) представимо в виде полиномов Эрмита как для четных, так и для нечетных

Полиномы Эрмита. Рассмотрим некоторые свойства полиномов Эрмита

Общее выражение для полинома Эрмита порядка

Убедимся в том, что это и есть общий случай решения уравнения (4.6). Подставив в него (4.11), получим:

что эквивалентно уравнению

При уравнение (4.13) удовлетворяется тождественно. Заметив теперь, что при дифференцировании по тождество порядка переходит в тождество порядка нетрудно применить метод индукции. Приведем некоторые полезные свойства полиномов Эрмита.

Доказательство.

Выражение (4.14) эквивалентно уравнению (4.13), если последнее записать для

Доказательство проводится методом индукции. Для справедливость (4.15) очевидна. Используя (4.11) и (4.14), получаем рекуррентную формулу

с помощью которой по индукции доказывается (4.15).

Доказательство для очевидно; для оно проводится методом индукции с учетом (4.11).

Вывод. Нормированные собственные функции линейного осциллятора имеют вид

Для значений энергии получаем из (4.3) и (4.9):

Отсюда вытекает важный результат: энергия квантового линейного гармонического осциллятора в принципе не может обращаться в нуль (конечно, при отличной от нуля собственной частоте причем минимальная энергия, соответствующая основному состоянию, равна (в классической теории энергия основного состояния — состояния покоя — равна нулю). Возбуждение добавляет к энергии основного состояния величину, составляющую целое кратное величины (квантование энергии).