Лекция 37. Преобразование дираковских спиноров

Найдем закон преобразования волновой функции уравнения Дирака при переходе от одной системы координат к другой. Запишем уравнение Дирака (35.7):

Предположим, что оно не зависит от выбора системы отсчета, т. е. потребуем, чтобы при переходе к новой системе

где коэффициенты ортогонального преобразования, выполнялись следующие соотношения:

( квадратная -матрица типа матриц Дирака,

Напомним, что по повторяющимся греческим индексам автоматически производится суммирование от 1 до 4 (правило Эйнштейна). Нетрудно проверить, что при указанных преобразованиях уравнение Дирака (37.1) не меняет вида и в новых координатах записывается как

если сделать определенные предположения о свойствах матрицы Для выяснения этих свойств умножим записанное выше уравнение слева на и заменим на по закону Тогда

или

Полученное уравнение должно совпадать с (37.1); сравнивая их, находим соотношение или

Здесь использовано свойство ортогональности преобразования (37.2) в форме аадм

Рассмотрим бесконечно малые преобразования

и будем пренебрегать высшими степенями что, однако, не нарушит общности выводов. Из ортогональности преобразования (37.2) следует, что

Для того чтобы координаты х, всегда оставались вещественными, необходимо также сделать следующие предположения:

Предположим, что отличается от единичной матрицы в первом порядке по

где матрица имеет порядок тогда с той же точностью

и формула (37.5) примет вид

Это равенство автоматически удовлетворяется, если

Следовательно, матрица трансформации спиноров при преобразованиях координат (37.2) и (37.6) имеет вид

Группа преобразований Лоренца, играющая фундаментальную роль в релятивистской теории, складывается из бесконечно малых преобразований координат (37.6) и из преобразований (37.13) спиноров так как отсюда можно получить путем интегрирования соответствующие конечные преобразования.

Пример. Бесконечно малый поворот вокруг оси z

соответствует следующим значениям

(все остальные компоненты равны нулю).

Тогда

Поворот вокруг оси на конечный угол описывается матрицей взять и устремить к 0

При этом спинорная волновая функция преобразуется как

Заметим, что при повороте на угол т. е. при полном повороте системы координат вокруг оси, спинорная волновая функция меняет знак.

Пример. Бесконечно малое преобразование Лоренца

соответствует матрице

Для конечного преобразования Лоренца

следует итерировать преобразование раз, причем тогда

Здесь был использован тот факт, что

Инверсия (отражение) пространственных координат. Преобразование координат и спинорной волновой функции в случае пространственной инверсии производится по правилу:

Из условия (37.5) находим:

Эти равенства удовлетворяются, если матрицу выбрать в виде

Очевидно, что матрица обладает свойством

При выборе компоненты спинорной волновой функции в новых координатах принимают вид

Отсюда видно, что пары компонент обладают взаимно противоположной четностью относительно пространственной инверсии.

Следовательно, в четном состоянии имеет место закон

в нечетном состоянии — закон

Сравнивая законы (37.27) с выражениями (36.8) и (36.12), находим, что четности состояний электрона равны четностям, определяемым

квантовым числом Для состояний позитрона доминирующими компонентами являются четность которых противоположна четности компонент

Некоторые свойства оператора пространственного отражения:

Построение с помощью спиноров и матриц Дирака величин, обладающих различными тензорными свойствами. Напомним, что в наших обозначениях латинские индексы пробегают значения 1, 2, 3, а греческие индексы соответственно используется правило суммирования Эйнштейна. Тогда из формул (37.8) и (37.13) следует, что

где член — действительный, член чисто мнимый.

У-матрицы удовлетворяют равенствам:

Заметим, что

В общем случае (т. е. матрица не унитарная). Лишь при (чисто пространственный поворот) становится унитарной.

Вообще же справедливы соотношения

Приступим теперь к решению важной задачи о построении величин различных тензорных размерностей. Найдем прежде всего такую матрицу и, которая в квадратичной конструкции со спинором дает скалярную величину.

Иначе говоря, при преобразованиях системы отсчета и соответствующем преобразовании спинорной волновой функции выражение должно обладать свойством

На основании закона (37.3)

и из требования (37.32) следует эквивалентное условие

Отсюда: матрица и должна удовлетворять требованию

Пользуясь соотношениями (37.31), находим:

а так как отсюда получим:

где матрица должна иметь вид (37.29). Это условие удовлетворяется, если выбрать

Полученные два решения показывают, что матрицу и можно выбрать двояко: либо Заметим, что при отыскании вида и

использовались инфинитезимальные преобразования (37.29) и, таким образом, не учитывалось отражение (существенно конечное преобразование); между тем именно при пространственной инверсии конструкции ведут себя прямо противоположным образом:

Поэтому

Введем обозначение тогда

Замечание. Лагранжиан спинорно--мезонного взаимодействия используемый в теории поля, предполагает псевдоскалярные свойства мезонной волновой функции (псевдоскалярные мезоны).

Аналогичным путем нетрудно найти и другие дираковские матрицы-операторы, приводящие к квадратичным формам типа обладающим различными тензорными свойствами. Тогда величина должна быть вектором (псевдовектором), а величина антисимметричным тензором второго ранга. Например, для сказанное означает, что

где [см. преобразование (37.2)].

Важно, что любую -матрицу (оператор, действующий на спиновую переменную) можно представить как линейную комбинацию 16 базисных матриц, служащих для построения соответствующих тензорных величин; именно,

Обращение времени. При обращении (инверсии) временной координаты имеют место преобразования

Пусть спинорная волновая функция является решением уравнения (37.1)

тогда для получения решения соответствующего обращению времени, следует решить уравнение (37.37), в котором также производится обращение времени:

Ясно, что эта задача не сводится к преобразованию типа Если, однако, положить

то задача легко решается. Уравнение, комплексно сопряженное (37.37), дает:

Умножив (37.40) слева на получим уравнение, которое можно отождествить с временным обращением уравнений (37.38), если потребовать выполнения условий

Условия (37.41) будут соблюдены при выборе стандартной формы -матриц [см. (34.9) и (34.10)], если взять матрицу в виде

Зарядовое сопряжение. Среди решений уравнения (37.37) содержатся как электронные, так и позитронные. Поэтому естественно предположить, что из каждого решения этого уравнения можно получить другое, удовлетворяющее уравнению (37.37) решение описывающее частицы с зарядом противоположного знака, т.е. осуществить преобразование

причем уравнение (37.37) примет вид

Для описания рассмотренного перехода к частицам с противоположным знаком заряда попытаемся ввести новое преобразование

(назовем его преобразованием зарядового сопряжения). Применяя оператор С слева к уравнению, комплексно сопряженному (37.40), найдем, что оно переходит в (37.44), если удовлетворяются условия

Легко проверить, что для стандартной формы -матриц [см. (34.9) и (34.10)] оператор С совпадает с матрицей 72:

Таким образом, зарядово сопряженное решение связано с исходным через равенство