Лекция 13. Принцип неопределенности

Пусть частица имеет точно определенное значение координаты х, а именно Очевидно, соответствующая волновая функция должна иметь вид Все коэффициенты ее фурье-разложения равны между собой; следовательно, частица в таком состоянии с равной вероятностью может иметь любое значение импульса:

С другой стороны, при определенном значении импульса

Следовательно, в этом случае никак не фиксировано положение точки в пространстве:

Рис. 10. Одномерный волновой пакет шириной 2а

Можно рассмотреть также промежуточный случай (рис. 10)

т. е. случай

Из формулы (12.18) следует, что

Рис. 11. График плотности вероятности распределения импульса в случае

Плотность вероятности того, что значение импульса частицы равно при этом будет пропорциональна величине

Распределение этой вероятности показано на чертеже (рис. 11); нетрудно видеть, что разброс значений импульса укладывается в интервал

Сравнивая формулы (13.3) и (13.4), получаем:

или

Этот результат известен как гейзенберговское соотношение неопределенностей. Строгий формальный расчет показывает, что для любой волновой функции выполняется неравенство

Доказательство для одномерной области можно найти в учебнике

Э. Персико. Полезные для изучения примеры рассматриваются в «Квантовой механике» Шиффа, где отчетливо видна взаимная дополнительность координаты х и импульса в согласии с соотношением (13.5).

Дополнительность временной координаты и энергии системы

имеет ряд важных аспектов:

1. Частота, характерная для кратковременных явлений имеет широкий разброс (полосу Подобно соотношениям (13.3) и (13.4) находим:

В квантовой механике откуда непосредственно следует соотношение (13.7).

Энергетические состояния систем с коротким временем жизни не могут быть определены более точно, чем допускает формула (13.7).

2. Анализ процесса измерений свидетельствует о том, что для точного определения энергии (для достижения достаточно малого значения требуется по крайней мере промежуток времени

Все это будет более детально обсуждаться позднее.