§ 99. Кривые, представленные уравнениями, в которых радиус-вектор имеет отрицательные показатели степени. Кривые двенадцатой и шестнадцатой степеней и т. д.
Легко видеть, что все кривые с отрицательными показателями степени, представленные общим уравнением (204) § 92:
проходят через центр или начало координат. Предположим, например, что высший отрицательный показатель степени 
равен — 4.
Рис. 50.
Удаляя знаменатель, т. е. умножая на 
получаем:
Это уравнение удовлетворяется при 
откуда 
Таким образом, в центре пересекаются четыре ветви кривой, которые имеют касательные 
составляющие углы 
осью 
и ее продолжением (рис. 50).
Если высший отрицательный показатель степени равен — 8, то можно видеть, что уравнение удовлетворяется при 
откуда 
Таким образом, центр представляет собой кратную точку, в которой пересекаются восемь ветвей кривых, наклоненных под углами
к оси 
и ее продолжению.
Подобные кривые могут нам подойти, если только ветви, которые пересекаются в центре не являются бесконечными, а изгибаются розеткой и объемлются без касания другой замкнутой кривой, которая будет в таком случае единственной кривой, рассматриваемой как основание призмы.
Это имеет место для уравнения
Но объемлющие кривые, которые можно получить из этого уравнения десятой степени относительно у и z, меньше отличаются от круга, чем кривые, которые мы могли получить (§§ 94, 95) из уравнения четвертой степени.
Впрочем, переплетения контуров являются причиной осложнений и трудностей.
Итак, мы считаем, что для получения кривых более разнообразных видов, чем описанные в §§ 94—98, например кривых с выступающими ребрами, у которых малый диаметр был бы меньше половины большего диаметра, следует придерживаться положительных показателей 
и прибегать к уравнению двенадцатой степени
если заменить 
на 
на 
на 
Уравнение шестнадцатой степени сводится также к уравнению второй степени относительно 
если члены 
а отсутствуют; но поскольку оно не изменяется при подстановке 
а вместо а, то дает восемь одинаковых точек вместо четырех.
