§ 6. Зависимости между сдвигами и удлинениями в различных направлениях. Изменение осей

Всякое удлинение Эх в некотором направлении происходящее в малой части тела, вызывает сдвиги по косым линиям к этому направлению; действительно, если после поступательного смещения и поворота тела мы предположим снова приведенными в первоначальные положения точку малую плоскость перпендикулярную к

малую прямую расположенную в этой плоскости, то мы увидим, что концы двух малых линий составляющих прямой угол (рис. 4), переместятся на величины равные Эх, умноженному, соответственно, на их расстояния до так что угол между этими линиями, превратившись в перестанет быть прямым, и мы получим сдвиг

И наоборот, всякий сдвиг между двумя прямыми составляющими прямой угол, создает положительные или отрицательные относительные удлинения в наклонных направлениях, ибо, так же как и удлинение, он превращает сферический элемент имеющий свой центр в (рис. 5), в эллипсоид наклоняя на тот же угол к диаметральной плоскости перпендикулярной к все его ординаты первоначально параллельные той же прямой.

Рис. 4

Предположим в общем случае, что мы имеем в направлениях трех осей прямоугольных координат три удлинения и три сдвига:

т. е. что три малые линии проведенные перед перемещением точки тела параллельно этим неподвижным осям, удлиняются на малые величины и наклоняются друг к Другу, т. е. углы между ними уменьшаются (§ 5) на малые величины когда они превращаются в Мгуь Мггг. Мы можем отсюда вывести удлинения и сдвиги в каких-либо других направлениях следующим образом.

Пусть или (рис. 6) — две малые прямые, составлявшие первоначально с углы

так что, если взять их длины, предполагаемые равными, за единицу, то они соответственно дадут для проекций на линии выражения

Рис. 5

При перемещениях эти две прямые превращаются в а прямоугольные параллелепипеды, в которых они были диагоналями и которые имели стороны — в два косоугольных параллелепипеда, имеющих, соответственно, стороны Мххъ которые мы назовем х, у, z и х, у, z, так что получим:

Найдем величину проекции второй диагонали на направление первой Для этого нужно только взять сумму проекций сторон на первую диагональ так как является прямой, соединяющей те же две точки, как и

полигон, образованный этими последними линиями. Мы получим, таким образом, для этой проекции:

Чтобы найти значение косинусов, которые входят во вторую часть уравнения, спроектируем сначала диагональ на направление проекция будет суммой проекций трех сторон косоугольного параллелепипеда, или

Рис. 6

Так выводится первое из следующих трех выражений, два других получаются таким же образом:

Подставляя в выражение (2) проекции на и умножая на получаем:

Эта формула (по отношению к которой известная формула квадрата диагонали какого-либо параллелепипеда только частный случай), в которую мы должны подставить вместо их выражения (1), применяется к произвольным величинам удлинений и косинусов углов, образованных линиями, в которые превращаются линии х, у, z вследствие перемещений.

Но если после подстановки (1) мы припишем этим восьми величинам очень малые значения, пренебрегая их квадратами и их произведениями, и если мы последовательно предположим, что: 1) направления совпадают; тогда левая часть в формуле (3) превращается в эти направления образуют прямой угол; тогда левая часть формулы (3) превращается в мы получаем, обращая внимание на то, что

две формулы:

(где

в которых можно было бы найти каждый член в отдельности с помощью геометрических соображений, как в начале этого параграфа.

Если придавать прямым направления трех новых взаимно-перпендикулярных линий х, у, z, то эти формулы служат для того, чтобы изменять по желанию систему осей,

соответственно которым мы берем удлинения и сдвиги, подобно тому как изменяют в аналитической геометрии оси и плоскости координат.

В качестве одного из первых следствий, какими бы ни были новые взаимно-перпендикулярные линии, получаем:

что можно было принять a priori, так как легко видеть, что является величиной, характеризующей увеличение объема прямоугольного параллелепипеда, имеющего центр в точке и стороны, параллельные Эта величина, представляющая собой относительное объемное расширение, должна быть независима от системы осей, по отношению к которым берут три линейных удлинения 9.