§ 35. Исследование выражений для перемещений

Возьмем за начало координат точку О одного из нормальных сечений призмы (рис. 20), ось х проведем параллельно ребрам, за ось примем прямую, проведенную в плоскости этого сечения параллельно оси на которой находятся центры всех дуг окружностей, в которые превращаются при перемещениях ребра и другие молекулярные волокна, параллельные оси х. Ось z будет прямой равным образом проведенной в плоскости поперечного сечения А В перпендикулярно к оси кривизны Мы считаем, что материал призмы имеет три главные плоскости упругости (§ 15), перпендикулярных к этим трем осям координат.

Рис. 20

Когда часть материальной линии сливающаяся первоначально с осью х, превратится в дугу окружности то материальная точка координаты которой

переместится в на сечении, которое теперь является плоскостью, проходящей через и через ось И точка будет иметь в этом новом своем положении координаты

Итак, пусть значения при т. е. для точки проекции точки на плоскость поперечного сечения которое является координатной плоскостью о — радиус дуги

Так как эти перемещения превращают прямую в дугу окружности радиус которой равен а центральный угол будет то получаем координаты считая сначала, что ось призмы не изменяет своей длины (см. § 37):

Заменяя синус его дугой, а косинус — единицей минус полуквадрат той же дуги, так как перемещения, а следовательно, и кривизна этой дуги считаются очень малыми (см. далее § 39 для случая, когда они были бы большими), и пренебрегая по обыкновению очень малыми величинами второго порядка, т. е. квадратами и произведениями величин и -у, получаем:

Остается определить значения или поперечные перемещения в сечении А В, плоскость которого остается неподвижной, при условии, что боковые давления на поверхности призмы равны нулю и выполняются определенные

уравнения (35) § 22 с

и одновременно удовлетворяются три неопределенных уравнения (32) для случая трех главных плоскостей упругости. Если в трех определенных уравнениях (65), которые мы только что написали, подставить вместо составляющих давления трехчленные и одночленные выражения (18) § 15 и если вместо производных и т. д. подставить их значения, полученные из только что установленных нами выражений (64) для то первое из этих трех уравнений (65) удовлетворяется само собой, а два других, если учесть, что являются функциями только у и z, а не х, принимают следующий вид:

Если, для удовлетворения этих уравнений мы приравниваем нулю каждую из трех скобок, на которые умножают косинусы, что является попыткой узнать, могут ли считаться равными нулю порознь составляющие давления не только на поверхности, но также и внутри всей изогнутой призмы, то получаем, вводя для упрощения (как в § 30, формулы (59)) обозначения

выражения:

Итак, неопределенные уравнения (32) подтверждают это предположение, так как при подстановке туда вместо и, наших значений (64) первое уравнение удовлетворяется само собой, а два последних посредством только что приведенной

третьей зависимости сводятся к выражениям:

которые удовлетворяются также при подстановке вместо и значений — получаемых из (68), так как с в соответствии с выражениями (67) для

Остается только найти из зависимостей (68) для и т. д. выражения через Два первых уравнения после интегрирования и обозначения через произвольных функций дадут:

а третье, следовательно, даст:

Отсюда видно, что должно равняться нулю или постоянной величине, а должно равняться величине уменьшенной на ту же постоянную. Обозначая постоянные через получаем:

Мы должны приравнять нулю постоянные так как считаем точку О призмы, взятую за начало координат, неподвижной, и должны получить для Можно приравнять нулю также постоянную к, которая представляла бы собой поворот материальной линии, взятой за ось z, вокруг оси х, так как мы можем считать ее направление фиксированным.

Итак, мы получаем окончательно, заменяя значения значениями в

которых, как мы только что видели, уничтожается функция а вместо подставляется :