§ 21. Неопределенные дифференциальные уравнения, справедливые во всех точках тела

Имеется возможность установить по заданным силам перемещения точек упругих тел или силы, способные произвести заданные перемещения (§ 1).

Чтобы получить уравнения, применимые для всех точек тела или части тела, нужно только подставить вместо в дифференциальные уравнения (30) предыдущего параграфа их выражения (§§ 12—19) через удлинения и сдвиги заменив последние величины их выражениями (§ 8) через перемещения точек в направлениях осей координат х, у, z.

Неизменно приводя посредством поступательных смещений и поворотов перемещения к очень малым (§ 8) и ограничиваясь при этом только малыми частями тел, можем принять (тот же параграф, формулы (10) и (11))

Отсюда следуют, например, для случая трех главных плоскостей упругости (формулы (18)) выражения:

которые, будучи подставлены в три уравнения (30)

дают дифференциальные уравнения, относящиеся к этому случаю трех главных плоскостей упругости, пересекающихся по прямым, параллельным осям х, у, z:

Если бы не было не только трех главных плоскостей, но даже, может быть, и одной, и мы могли бы привести посредством изменения осей координат составляющие к одночленной форме (19) или (24) § 16, то получили бы для трех составляющих давления на плоскость, перпендикулярную к оси х, выражения:

(первое из них имеет самую общую форму).

Отсюда, подставляя в первое уравнение предыдущего параграфа, получим:

Это, как мы увидим, единственное уравнение, которое нам понадобится для решения задач о кручении.

Так как мы будем пренебрегать силой тяжести и заниматься только задачами равновесия, где силы инерции отсутствуют, то будем обычно полагать в этих уравнениях