§ 8. Продолжение. Изменения осей и плоскостей, относительно которых рассматривают давления, удлинения и сдвиги

В § 4 показано, что малая грань А, перпендикулярная к какой-либо прямой испытывает равнодействующее давление, которое определяется через ее проекции ту, на три плоскости, перпендикулярные к координатным осям х, у, z. Например, давление на первую проекцию имеет в тех же осях составляющие

Выписав также составляющие других давлений и разложив их соответственно другой прямой получаем после сложения и деления на А следующую величину составляющей давления на единицу площади грани, перпендикулярной к

Если мы даем последовательно направления трех новых взаимно-перпендикулярных линий то получаем формулы, служащие для перехода от одной системы плоскостей давления к другой.

Что касается удлинений и сдвигов, то предположим сначала, что перемещение точек твердого тела принуждает его испытывать только общее удлинение . Если первый конец о прямой неподвижен, а ее проекция на направление оси х равна то второй конец проделает путь параллельно оси х, что при проектировании пути на направление т. е. при умножении на дает для удлинения следовательно, после деления на приводит к относительному удлинению

Если бы, далее, тело вместо удлинения испытывало сдвиг так что все материальные плоскости, такие, как параллельные повернулись бы на очень малый угол относительно линий их пересечений с плоскостью перпендикулярной к оси то при расстоянии от до неподвижной плоскости равном точка проделает параллельно оси у путь Таким образом, проектируя этот путь на направление и деля на первоначальную длину, получаем для относительного удлинения вызванного сдвигом на этой линии:

Пусть вторая линия составляет первоначально прямой угол с линией Примем для упрощения Только что предположенное нами общее относительное удлинение вызывает перемещение концов двух малых линий и параллельных оси х. Если мы спроектируем первую линию на направление от или то получим малую величину, которая определяет уменьшение угла тот при превращении его в угол пот; если же мы спроектируем вторую линию на направление или от, мало отличающееся от направления то получим малую величину, на которую изменился бы почти прямой угол пот при уменьшении и превращении его в угол поп. Сумма этих двух проекций будет искажением, испытанным прямым углом тот при превращении его в угол поп или (§ 5) сдвигом Итак, для этого сдвига, произведенного удлинением , получаем:

Рис. 2

Если бы вместо удлинения имели только сдвиг во всем теле, то два конца линий проделали бы параллельно оси у пути Складывая, как выше сказано, проекции первой из этих малых линий на и второй на получаем сдвиг являющийся результатом сдвига

Если одновременно имеются удлинения и сдвиги отнесенные к координатным осям х, у, z, то удлинение и сдвиг после отбрасывания сил очень малых (величин второго порядка) будут получены

суммированием всего, что возникло вследствие этих различных изменений, взятых порознь. Итак, получаем формулы:

которые служат для того, чтобы изменять по желанию систему осей координат, соответственно которым берут удлинения и сдвиги, давая последовательно прямым направления трех новых взаимно-перпендикулярных линий