§ 29. Искривленная поверхность, образованная первоначально плоскими прямоугольными поперечными сечениями

Если в общем уравнении этой поверхности, отнесенной к плоскости, нормальной к изогнутой оси призмы, мы подставим вместо функции ее значение, данное формулами (91) и (102), то исчезает, и мы получаем:

Положительные значения и соответствуют отрицательным значениям z и имеют ту же величину, что и отрицательные значения, соответствующие равным и положительным значениям

Обозначая, как в § 21, через значение и для с и через гиперболический тангенс, получаем выражение

Принимая во внимание, что можно записать ряд 2 следующим образом:

При его вычислении обычно не требуется брать более двух членов со скобками Полагая получаем:

Таким же образом мы произвели более сложное вычисление отношения для ряда значений и возрастающих на одну десятую в случае Достаточно взять от двух до девяти членов суммы значения включительно, и если для их нужно взять до 35, то вычисление сокращается при замене гиперболических тангенсов единицей после третьего члена суммы. Результаты вычислений даны в таблице на стр. 468.

Эти цифры послужили для построения рис. 8. Заштрихованные линии построены по абсциссам z и ординатам и, взятым в столбцах при произвольном выборе повторении в обратном порядке этих кривых ниже Распространяя в направлении и эти разрезы, так же как и промежуточные разрезы, полученные по цифрам из других столбцов, мы легко выводим из их пересечений с различными параллелями к разрезы, изображенные на той же поверхности посредством ряда эквидистантных плоскостей которые все спроектированы на первоначальную плоскость сечения с контуром в виде квадрата

(см. скан)

Эти разрезы, как мы видим, почти прямолинейны и параллельны оси у до в той части, где сдвиги наибольшие. Затем они слегка изгибаются, поворачиваясь своей вогнутостью к этой оси, между тем как аналогичные разрезы поверхностей, в которые превращаются сечения второй и четвертой степеней, рассмотренные в §§ 18, 21 и 23, поворачиваются к оси своей выпуклостью.

Рис. 8.

Это согласуется с тем, что мы видели (§ 23) для сечения девятой степени, приближающегося обычно к прямоугольнику с весьма закругленными углами, где все разрезы прямолинейны и параллельны.

Для прямоугольного сечения, где ширина вдвое меньше высоты с, указанная параллельность наблюдается почти для всех разрезов.

Части выражения и, происходящие из тригонометрического ряда при оказывают малое влияние, так же как и другие члены, содержащие приблизительно равные Тогда для практических целей выражения (110) и

(111) можно привести к виду

что дает для разрезов вместо слегка искривленных линий, изображенных на рисунке, прямые, параллельные у, проходящие приблизительно через точки, соответствующие

Таким образом, сечения можно часто рассматривать как приблизительно цилиндрическую поверхность с основанием в виде гуська, представленную уравнением (112).