§ 31. Непосредственное доказательство известных формул изгиба призм, вызванного только их продольными удлинениями

Весьма желательно (§ 3) получить подобное доказательство этих формул (1), которые могут быть записаны в следующем виде:

когда мы прибавляем к переменному удлинению у общее удлинение Отсюда для случая, когда линия проходит через центр тяжести, выводим выражения (2) для полного растягивающего усилия и для изгибающего момента М:

(§ 3). Это дает возможность ввести их в учебные курсы, которые не содержат предварительного обоснования дифференциальных и интегральных формул теории упругости, и отказаться от необоснованных и часто ошибочных гипотез.

Чтобы достичь этого, мы представим умозрительно, в каких условиях растянутые волокна призмы не оказывают друг на друга в боковом направлении никакого действия перпендикулярно к их длине или к ребрам призмы, что обязательно приведет к рассмотрению поперечных сжатий, сопровождающих в таком случае их продольные удлинения. Затем покажем, что очень малые основания этих волокон, сохраняя свою смежность, могут всегда быть одновременно изменены так, чтобы было выполнено условие равенства нулю нормального воздействия, когда продольные удлинения изменяются линейно или равномерно при переходе от одного волокна к другому в двух поперечных направлениях. Далее мы найдем, что если только оба крайних основания призмы испытывают продольные растяжения,

изменяющиеся в соответствии с этим линейным законом, при наличии или при отсутствии поперечных касательных сил, распределенных некоторым образом, то такое же воздействие непременно испытывают все другие сечения призмы, боковые грани которой не испытывают никакого внешнего воздействия. Следовательно, мы получаем (даже когда имеются постоянные боковые давления, подобные давлению жидкости) именно известные формулы изгиба, поддающиеся с приближением распространению на случай, когда силы, действующие на концах призмы, приложены и распределены несколько иначе. Эти формулы должны к тому же всегда дополняться менее простыми формулами, дающими сдвиг в тех случаях, когда влиянием его нельзя пренебрегать.

Итак, предположим, что упругое однородное тело мысленно разделено на элементы в виде совершенно одинаковых прямоугольных параллелепипедов, заменяя в случае необходимости обычно искривленные поверхности рядом малых плоскостей. Стороны этих элементов после воздействия внешних сил немного удлиняются или укорачиваются и даже обычно наклоняются по отношению друг к другу, образуя слегка косоугольные параллелепипеды.

Приближение или удаление всяких внутренних молекул по отношению к молекулам близлежащих элементов производит новые молекулярные действия, равнодействующие которых через различные грани контакта этих элементов представляют собой взаимные давления или растягивающие усилия. Величина и направление этих давлений или растягивающих усилий зависят от относительной величины малых удлинений или сжатий сторон, так же как от малых наклонов их друг к другу.

Если, например, стороны остаются прямоугольными и одна из них (рис. 9) становится или удлиняется так, что стороны не изменяются, когда молекулы смежных элементов, которые участвовали в этом движении, примут новое положение то все молекулы внутренней части будут удаляться, но в большей мере от молекул расположенных за гранями перпендикулярными к увеличенному измерению чем от молекул расположенных за гранями, параллельными Если измерение сжимается, а не растягивается,

то все расстояния между внутренними молекулами рассматриваемого элемента и молекулами вне его, наоборот, уменьшаются, но всегда в большей степени по граням чем по четырем другим граням.

Всякое удлинение элемента в направлении одного из его трех измерений вызывает, таким образом, силы притяжения и производит растяжения или напряжения по его шести граням, а всякое сжатие вызывает на тех же гранях силы отталкивания или, собственно говоря, давления.

Рис. 9

Но растяжения или сжатия, вызванные этими причинами и отнесенные к единице площади граней, более значительны на гранях, перпендикулярных к растянутым или сжатым измерениям элемента, чем на гранях, параллельных им. Изменяя растяжения или сжатия, мы можем дать им желаемую величину в пределах сцепления материала.

Кроме того, структура материала (зернистая, волокнистая, пластинчатая и т. д.) в соответствии с особенностями его молекулярного строения, хотя и предполагаемая одинаковой во всех точках однородного тела, может быть весьма неравномерной в различных направлениях, и растяжения или сжатия могут иметь более или менее косые направления на гранях, где они действуют, даже в том случае, когда элементы останутся прямоугольными; тем более эти направления становятся косыми, как мы только что заметили, если элементы превращаются в слегка косоугольные. Таким образом, эти составляющие воздействий могут даже иногда быть чисто касательными или сводиться к некоторым видам трения или сходного с ним прилипания на тех же гранях.

Это строение материала может быть между прочим таким, что всякое очень малое изменение малых призм

меняющее или не меняющее угол между боковыми гранями, но не изменяющее перпендикулярности ребер к обоим основаниям действительно производит на эти основания только воздействия, продольные или параллельные а на четыре боковые грани только воздействия поперечные, т. е. перпендикулярные к тем же ребрам. И всякий очень малый наклон ребер к основаниям вызывает только касательные действия, продольные на боковых гранях и поперечные на основаниях. Как нетрудно видеть, для этого достаточно, чтобы молекулы размещались с некоторой симметрией по отношению ко всем сечениям, поперечным или параллельным граням взятым за основания. Мы всегда будем предполагать этот вид молекулярного строения.

Рис. 10.

Если одновременно имеется растяжение элементов в одном или в двух направлениях и сжатие в другом или в двух других, то из теоремы сложения результатов действия сил и малых перемещений (теорема, доказательство которой мы здесь не приводим, дана в § 6) следует, что давления на различных гранях будут равнодействующими того, что было бы вызвано этими двумя последовательно произведенными видоизменениями. Из той же теоремы также следует, что два, три и т. д. малых равных изменения вызовут двойные, тройные и т. д. силы, т. е. что силы пропорциональны малым изменениям как линейных размеров, так и углов.

Итак, эти изменения могут находиться между собой в таких соотношениях, чтобы в направлении сквозь какие-либо грани, например боковые, имелось бы взаимное уничтожение сил или компенсация сил притяжения и отталкивания, так что эти четыре грани элемента не испытывают ни давления, ни растягивающих усилий со стороны смежных элементов, тогда как другие грани, т. е. основания подвергаются каким угодно воздействиям. Пусть все углы элемента остаются прямыми, и мы получили на единицу длины удлинение 9 в продольном направлении (рис. 10), удлинения —9 (или сжатия 9) в поперечных

направлениях и что в соответствии со строением материала всякое удлинение в одном направлении вызывает соответственно на единице площади перпендикулярных граней и на единице площади параллельных граней растягивающие усилия, равные этому удлинению, умноженному на два числа для первых и только на для вторых граней.

Получим: 1) на гранях перпендикулярных к растягивающие усилия на других гранях растягивающие усилия

Если то последние будут равны нулю, а первые, т. е. растягивающие усилия на основаниях, будут тогда иметь значение

Таким образом, если то боковые волокна не будут испытывать никакого действия, когда поперечные сжатия

9 составят часть продольного удлинения 9. И растягивающие усилия на основаниях будут в таком случае равны продольному удлинению 9, умноженному на число Это то число, каким бы оно ни было в различных случаях, на которое нужно умножить относительное продольное растяжение призматического элемента, чтобы получить способную вызвать это растяжение силу, отнесенную к единице поверхности основания элемента, когда боковые грани не испытывают никакого воздействия перпендикулярно к ребрам; это число обычно называется коэффициентом упругости при растяжении материала в направлении ребер малой призмы.

Установив это, получаем призму, из продольных призматических волокон с каким-либо основанием, разделенным двумя системами прямоугольных плоскостей, параллельных ее ребрам. Допустим, что эти волокна сами разделены на элементарные прямоугольные параллелепипеды плоскостями, перпендикулярными к тем же ребрам. По отношению к этим плоскостям молекулярное строение считается симметричным, что мы определили, анализируя воздействия, и что очень часто имеет место.

Если продольные удлинения волокон в точках, где они пересекают то же самое поперечное сечение со призмы, изменяются только линейно в двух взаимноперпендикулярных, а также поперечных направлениях, т. е. увеличиваются или уменьшаются одинаково с расстояниями, вычисленными в этих двух направлениях на то можно будет всегда превратить их основания или маленькие прямоугольники, на которые разделено это сечение в фигуры, которые без нарушения их смежности получат именно те формы и размеры, при которых боковые грани волокон не испытывали бы никакого давления перпендикулярно к ребрам.

Рис. 77

В самом деле, допустим сначала для упрощения: 1) Материал одинаково симметричен относительно двух других систем плоскостей раздела надлежащим образом выбранных элементов или удлинения и сжатия их сторон

вызывают, как мы заметили, только давления, перпендикулярные к их граням.

2) Продольное удлинение изменяется только в одном из двух направлений линий, делящих сечение и для какого-либо волокна, основание которого имеет центр в точке оно может быть представлено посредством отношения где постоянная, обязательно весьма большая по сравнению с z, в которую превращается координата т. е. положительное или отрицательное расстояние от до линии делящей сечение в другом направлении. Представим в виде постоянные отношения (в только что приведенном примере то и другое равны которые следует иметь между поперечными сжатиями в направлениях осей и продольным удлинением волокна, чтобы боковые грани не испытывали ни нормальных растягивающих усилий, ни нормального давления. Затем опишем на плоскости дугу окружности огуг радиуса (рис. 11) и концентрические дуги малые расстояния между которыми равны первоначальным сторонам элементов, уменьшенным в отношении вследствие продольных удлинений элементов, т. е. умноженным на Если мы проведем из центра С радиусы к точкам, делящим дугу на части равные сторонам оснований тех же элементов в другом направлении, то разобьем плоскость на четырехсторонники, которые можно рассматривать как прямолинейные ввиду их малости; какой-либо один из них с центром на расстоянии тхрг от дуги охух получит в направлении дуг ширину, которая будет первоначальной шириной соответствующего элемента, поскольку — — тгрх равно — или поскольку равно 1.

Отсюда следует, что при малые четырехсторонники, соответствующие тому же числу прямоугольников, которые служили основаниями в элементах или волокнах, действительно имеют вследствие перемещений такие размеры, при которых боковые грани не испытывают нормальных давлений. Эти четырехсторонники должны иметь

такую форму, чтобы боковые грани не испытывали поперечных касательных воздействий, так как их углы остаются прямыми. Следствием сказанного является возможность взаимного превращения прямоугольников в четырехсторонники без нарушения смежности.

Построение, благодаря которому видна эта возможность, производится легко, если растяжения будут представлены посредством вместо или если волокна, разрезающие не будут неизменяемой длины. Тогда мы должны только взять центр с дуг на расстоянии вместо у и точки деления первой дуги на расстояниях, равных первоначальным расстояниям умноженным на или же, изобразив фигуру, как если бы она имела постоянную мы сжали бы все малые четырехсторонники в отношении по дугам и в отношении по радиусам, что не помешало бы им оставаться смежными.

Если удлинение изменяется линейно одновременно в двух направлениях или если оно представлено посредством выражения причем представляет собой расстояние вдоль у, то можно сделать построение сначала так, как если бы оно сводилось к а затем так, как если бы оно сводилось к и окончательно составить геометрически совокупность поперечных перемещений, найденных в соответствии с этими предположениями, что дает, как это легко видеть, сетку криволинейных четырехсторонников в двух направлениях, всегда ортогональных и удовлетворяющих таким образом желаемым условиям.

Но можно, пренебрегая разницей между и между и а также другими очень малыми величинами второго порядка, построить сетку другим способом, который имеет

преимущество, что он одинаково применим в обычном случае, когда материал призмы имеет плоскости симметрии только в виде поперечных сечений и когда, следовательно, равенство нулю взаимных поперечных действий волокон требует, чтобы стороны их прямоугольных оснований не только сжимались, но и обычно слегка наклонялись друг к другу на величину, пропорциональную продольным удлинениям.

Так как тогда представляют собой относительную величину сжатий сторон, а малый наклон, который они принимают друг к другу, или уменьшение двух противоположных углов элементов поверхности, мы, очевидно, получим, если продольное удлинение, а новая постоянная, выражения:

Если проинтегрировать первые два из этих уравнений, то к их интегралам нужно соответственно добавить

произвольные функции при подстановке решений в третье уравнение оно принимает вид

Соотношение удовлетворяется, если положить обе его части равньши той же произвольной постоянной. Эта постоянная равна если мы считаем, чтобы абстрагироваться от общего поворота и поступательного смещения, что первый элемент линии остается неподвижным, так же как начало координат о, т. е. при Из этого следует: чтобы удовлетворить трем дифференциальным уравнениям (114), выражающим необходимые условия, при которых волокна не подвергались бы воздействиям в поперечных направлениях, необходимо иметь:

так как эти условия вполне согласуются между собой; это дает положения точек новой сетки, образованной основаниями элементов, или две системы линий, которые их ограничивают. Следовательно, второе из выражений (115), если придавать z различные постоянные значения, дает уравнения слегка искривленных линий, в которые превращаются прямые, первоначально проведенные на сечении параллельно оси у. Это параболы, радиус кривизны которых почти постоянен и равен обратной величине производной и которые, таким образом, почти сливаются при с найденными выше дугами окружности, радиусы которых могли рассматриваться как равные, имея в виду, что величина считается значительно большей, чем z или Первое выражение (115) дает то же для линий раздела, которые были первоначально параллельны оси z, т. е. для парабол или дуг окружности, радиус которых является

обратной величиной суммы и которые, как сказано выше, сводятся к прямым линиям при углы малых прямоугольников должны оставаться прямыми, если одновременно имеем или при зависимости продольного удлинения только от координаты

Итак, каждый раз (в соответствии с вышеизложенным), когда мы получим призму, строение которой представляет собой по отношению к поперечным сечениям такую симметрию, что изменение размеров ее волокон или продольных элементов и изменение углов ее оснований могли бы создавать на последних только продольные воздействия, а на боковых гранях только воздействия, параллельные тем же основаниям, если продольные удлинения этих волокон изменяются только линейно в двух поперечных направлениях в точках, где они пересекают какое-либо сечение, то основания продольных элементов могут всегда принимать без нарушения смежности такие формы, что волокна не оказывают друг на друга в боковом направлении никакого воздействия перпендикулярно к их длине.

Эта лемма легко приводит нас к искомому доказательству известных формул изгиба для случая, когда они являются точными.

Действительно, начнем с самого простого случая равномерного, или кругового, изгиба, когда продольные перемещения считаются такими, что все поперечные сечения

остаются плоскими и нормальными к волокнам, равномерно растянутым или сжатым от одного конца до другого и превратившимся в дуги окружности, центры которых находятся на одной прямой, являющейся общим пересечением новых плоскостей сечений. Таким образом, если удлинение волокна, которое проходит через центры тяжести сечений, радиус волокна или расстояние до линии пересечения новых плоскостей, о которой мы говорили, а радиус какого-либо другого волокна, то получаем для новой длины части этого волокна, равной первоначально единице, выражение следовательно, формулу

для продольного удлинения (так как 80 и считаются очень малыми и их произведением можно пренебречь). Предположим также, что относительные поперечные перемещения на всех сечениях со таковы, что волокна не оказывают друг на друга в боковом направлении никакого поперечного действия, возможность чего нами только что доказана для случая, когда продольные удлинения выражаются подобной формулой.

Если мы обозначим через число, только что названное коэффициентом упругости растяжения, то продольные усилия на элементах сечений будут

Действия на обоих крайних основаниях получат одинаковое выражение, а действия на боковых гранях призмы будут равны нулю.

Так как задача об определении малых относительных перемещений точек упругого тела полностью решается, когда даны внешние силы, которые на него действуют, то взаимно, призма, боковые грани которой не испытывают никакого воздействия и к крайним основаниям которой приложены продольные усилия т. е. усилия (положительные или отрицательные), одинаковые на обоих основаниях в соответственных точках, нормальные к элементам

где они действуют и изменяющиеся линейно с той же поперечной координатой z, будет испытывать именно те перемещения, как продольные, так и поперечные, которые мы только что допустили, т. е. изгибание в виде дуги окружности в плоскости, параллельной ребрам и оси z, и продольные удлинения повсюду, а следовательно повсюду внут призмы одинаковые продольные усилия как если бы эти волокна были изолированными. Таким образом, формулы обычной теории изгиба будут в этом случае точно соблюдены.

Рис. 13

Кроме того, волокна призм будут испытывать поперечные сжатия направлениях, перпендикулярном и параллельном оси z, так что контур их сечений слегка изменит форму, определенную указанным выше рассуждением (и что можно заметить экспериментально, изгибая параллелепипед из каучука).

Перейдем теперь к более сложному и более обычному случаю изгиба по некруговой дуге, неравномерность кривизны которой от одного конца призмы до другого определяется силами, действующими в поперечном направлении или касательно к сечениям.

Рассуждая иначе по сравнению с только что сказанным, мы выскажем гипотезы о перемещениях, допуская, что:

1) Различные сечения со изгибаются и наклоняются к волокнам одинаково, так что части ттпп волокон, находящиеся между двумя очень близкими сечениями имеют после изгиба такую же длину, как и части находящиеся между двумя плоскостями проведенными нормально к центральному волокну проходящему через центры тяжести о, о сечений, и следовательно, продольные удлинения могут быть всегда представлены посредством выражения где удлинение волокна его радиус кривизны расстояние от какого-либо волокна до прямой о, проведенной через центр сечения параллельно линии пересечения с двух нормальных плоскостей.

2) Волокна сжимаются в боковом направлении (так как это оказывается возможным во всех случаях, когда удлинение имеет линейное выражение) так, что они не давят друг на друга перпендикулярно к их длине и, следовательно, продольное усилие на элементе равно это не препятствует тем же волокнам иметь возможность оказывать друг на друга продольные воздействия, аналогичные трению, на их различных боковых гранях, таких, как пп и т. д., в силу их малых сдвигов друг по отношению к другу или наклонов, которые принимают их ребра к основаниям или .

3) постоянно, так что различные сечения уже подвергшиеся действию в касательном направлении со стороны тех поперечных сил, которые зависят от этих наклонов и которые мы называем постоянной равнодействующей полагаемой параллельной или подвергаются действию продольных сил, имеющих то же значение но мы получаем кривизну у, равномерно изменяющуюся от одного конца призмы до другого и равную где момент инерции сечения со относительно линии о, а переменный момент вокруг той же линии о внешних сил, которые действуют на конец призмы; таким образом, эти силы находятся в равновесии по отношению к повороту ввиду наличия в том же сечении усилий

так как полный момент этих усилий равен

4) Наконец, в соответствии с криволинейной формой принятой всеми сечениями, продольные касательные действия на боковых внешних гранях призмы равняются нулю и на гранях пп и т. д. какого-либо элемента волокна разности, которые дают эти касательные действия в силу того, что наклоны ребер к основаниям в не такие же, как в не такие, как в уравновешиваются именно разностью (возникшей вследствие изменения продольных усилий которые действуют в противоположных направлениях на двух основаниях того же элемента.

Совместность первых трех этих допущений относительно перемещений сама по себе очевидна; и так как они обеспечивают либо равновесие относительно поступательного смещения, либо относительно общего поворота всякой пластинки, заключенной между двумя сечениями то они согласуются также с четвертым допущением, выполнение которого сводится к тому, чтобы выбрать среди бесконечно большого числаформ, приписываемых искривленной поверхности изогнутых сечений, такую, которая создает равновесие части или каждого элемента пластинки в отдельности; эта форма должна всегда существовать, хотя бы мы могли ее определить для каждого случая только в результате более или менее сложного анализа, различные примеры которого мы указали выше.

Если перемещения точек призмы таковы, как мы только что допустили, то ее боковые грани не будут испытывать никакого воздействия, а ее два крайных основания будут подвержены воздействию продольных сил и сил касательных или поперечных, которые зависят от новой формы поверхностей первоначально плоских сечений.

Так как относительные перемещения производятся единственным способом заданными внешними силами, то взаимно: призма, боковые грани которой не подвергаются никакому воздействию и два крайних основания которой подвергаются одновременно: I) в продольном направлении растяжениям (положительным или отрицательным), которые изменяются линейно или могут выражаться посредством где постоянная, имеющая одинаковое значение на обоих основаниях, но имеют обычно различные значения, одно из которых может равняться нулю, а поперечная координата z вычисляется и направляется одинаковым образом на том и на другом основании в поперечном или касательном направлении действиям, которые имеют одинаковые величины и направления в соответственных точках этих двух оснований, расстояние между которыми мы обозначили через а, и равнодействующую составляющую с величиной определенное отношение, которое зависит от формы и величины сечений

и от способа распределения действий; я утверждаю, что эта призма получит во всех ее частях продольные удлинения причем величины изменяются равномерно по длине оси между ее крайними значениями элементы каждого внутреннего сечения будут подвергаться нормальным или продольным усилиям и точно таким же касательным действиям, как каждое из двух крайных оснований; равнодействующая этих сил должна давать момент (с плечом рычага, равным расстоянию от каждого основания до какого-либо сечения), способный уравновесить именно момент продольных воздействий относительно той же оси, проведенной на этом сечении через его центр.

Таким образом, для подобного способа воздействия мы точно получим известные формулы обычной теории изгиба призм, сопровождаемого растяжением центрального волокна; эти формулы дают, между прочим, как мы сказали, только часть перемещений, вызванных продольными удлинениями волокон, к которым нужно добавить, чтобы получить другие части и тем самым полные условия сопротивления, несколько более сложные формулы, которые могут быть получены только путем анализа и которые дают перемещения, вызванные малыми сдвигами пластинок или волокон друг по отношению к другу; этими перемещениями чаще всего ввиду их малости можно пренебречь, но в некоторых случаях они заметно увеличирают стрелу прогиба, так же как максимальное удлинение в косом направлении, которое следует ограничить, чтобы предотвратить разрушение.