§ 24. Условия сопротивления последующему разрушению или прогрессирующему и опасному изменению строения тела

Основной способ вычисления перемещений, производимых силами в первые моменты после их приложения к твердому телу, состоит в определении сопротивления материала непрерывному действию этих сил.

Если удаления или сближения молекул, которые при этом происходят, незначительны, то они прекращаются немедленно или в иных случаях спустя определенное время, производя при этом некоторые незначительные остаточные деформации, которые создают либо только наклеп тела, либо делают более стабильным размещение его частей.

Если перемещения молекул велики, то они возрастают прогрессивно, что приводит к разрыву тела или к такому

изменению его строения и формы, что тело становится неспособным выполнять задачу, для которой оно предназначалось.

Для предотвращения этих явлений необходимо соблюсти условие, чтобы линейное растяжение, положительное или отрицательное (§ 4), нигде не превосходило некоторого предела, изменяющегося вместе с направлением в теле, строение которого неодинаково по всем направлениям.

Чтобы быть уверенным в том, что они не будут проявляться, даже с течением времени, под непрерывным действием сил и ввиду различного рода случайных неизбежных причин, которые расчет не может охватить, принятый предел, как доказывает наблюдение, должен быть весьма ограниченным, чтобы доля остаточных удлинений, если она имеется, была бы очень небольшой. И, таким образом, вышеуказанные формулы могут применяться с большей точностью для определения всех удлинений, которые лежат ниже этого предела или, в крайнем случае, равны ему.

Пусть в теле для данного направления: указанный предел для положительных удлинений; — предел, относящийся к сжатиям или к отрицательным удлинениям, взятым положительными; — действительное удлинение, вызванное приложенными силами.

Два условия прочности или стабильности сцепления частей тела состоят в том, чтобы во всех точках и по всем направлениям были справедливы соотношения или

Предельному удлинению принято давать обозначение, предложенное математиками (еще до того, как Мариотт сделал наблюдение, «что разрушение тел зависит от степени растяжения»), выражавшими сопротивление тел разрыву, ограничивая вместо удлинений усилия, выдерживаемые частями тела. Приведенные условия не всегда дают одинаковый результат. Итак, полагают, что

где величина, называемая коэффициентом упругости при растяжении в рассматриваемом направлении, т. е. (см. ниже § 30) отношение между силами на единицу площади поперечного сечения, приложенными в продольном направлении к малой призме, выделенной из тела в этом направлении, и очень малыми удлинениями, ими вызванными.

Такого рода обозначение не представляет затрудений, если мы не забываем, что представляет попросту произведение т. е. силу, способную сообщить (также на единицу поверхности) той же призме, предполагаемой изолированной, предельное удлинение 8, относящееся к ее положению в теле, но что представляет только иногда и не всегда внутренние усилие или давление, передаваемое нормально ее поперечным сечениям, пока она составляет часть тела. Мы увидим даже, что постоянные, такие, как которые являются функциями коэффициентов в формулах давления, из которых выводятся действительные удлинения 3, довольно часто исчезают из уравнений сопротивления разрыву, содержащих, следовательно, только такие постоянные, как так что обозначение предела 8 посредством обычно упрощает конечные выражения.

Итак, получаем условие прочности:

или которым мы занимаемся и в дальнейшем будем заниматься только в части, относящейся к положительным удлинениям, так как это условие в отношении сжатий трактуется подобным же образом.

Если — углы, образованные с х, у, z направлением, соответственно которому удлинение составляет 9, то величина последнего как функция трех удлинений и трех сдвигов в направлениях х, у, z, вычисленная по формуле дается выражением

которое показывает, что удлинения 9 распределяются около точки таким же образом, как и моменты инерции

твердого тела, т. е. что обратные величины их квадратных корней, отложенные на прямых, проведенных от этой точки, являются, по замечанию Коши, радиусами-векторами эллипсоида, который заменяется двумя сопряженными гиперболоидами, когда одни значения 9 положительны, а другие отрицательны.

Вследствие неизвестности закона, связывающего величины предельных удлинений в различных направлениях с удлинениями

в направлениях которые могут быть единственными, определяемыми экспериментально, мы можем приближенно предположить, что для 9 имеется тот же простой способ распределения, который будет мало отличаться от действительного, особенно, когда тело имеет три главные плоскости упругости, с обеих сторон которых строение тела симметрично (§ 15).

Мы примем, следовательно, что если оси параллельны трем линиям пересечения этих плоскостей симметрии, существование которых мы всегда будем предполагать, то имеет место формула

Условие прочности 39 геометрически будет таково, что эллипсоид будет полностью заключен внутри эллипсоида

Аналитически это требует, чтобы значение у, которое является наибольшим и для которого получаем, дифференцируя,

равнялось бы самое большее единице.

Если в это уравнение, которое сводится к

мы подставим вместо их значения (39) и (40) и произведем дифференцирования по рассматриваемым как три переменные, которые можно представить посредством трех букв то сможем исключить один из трех дифференциалов, например с помощью зависимости которая дает так как множители при каждом из двух остающихся дифференциалов равны порознь нулю, то мы получим два уравнения, которые сводятся к равенству трех дробей:

В соответствии с замечанием, сделанным Коши для случая, когда нужно получить только максимум 9, составляют четвертую дробь той же величины, взяв за ее числитель сумму трех числителей, а за знаменатель — сумму трех знаменателей, после того как числители и знаменатели умножены: в первой дроби на во второй на и в третьей на Отсюда получается в знаменателе единица, и в соответствии с (39) и (40) 29-й для числителя. Каждая из наших трех дробей равняется, таким образом, нулю, что дает три уравнения:

Исключаем отсюда косинусы, перемножив все три равенства и заменив затем в таких членах, как

куда один сдвиг входит во второй степени, скобку, которая не что иное, как правая часть одного из трех уравнений, соответствующей левой частью уравнения.

Отсюда следует уравнение третьей степени относительно—

Оно становится, когда уравнением третьей степени для данным Коши для нахождения трех главных удлинений, или более известным уравнением для определения трех осей эллипсоида, уравнение которого задано по отношению к каким-либо взаимно-перпендикулярным плоскостям.

Ему придают другую форму, замечая, что в случае, когда удлинения равны нулю, так же как и два сдвига оно сводится к

Отсюда видно, что когда 8 является верхним пределом удлинения 3, то является верхним пределом сдвига который нельзя превысить, не подвергая опасности сплошность тела. Этот предел, так же как аналогичные пределы для можно было бы вывести из непосредственных экспериментов по разрушению от скольжения, так же как пределы считаются выведенными из экспериментов по разрушению от удлинения. Если мы представим следующим образом три новых предела:

то уравнение (44), деленное на запишется так:

На том же основании, как и в случае выражения (40) для 8, можно распространить это уравнение на случай, когда

путем ряда наблюдений сдвигов, так же как и заключений, полученных из рассмотрения зданий или машин, части которых подвергаются соответствующим усилиям, конструкторы принимали для пределов уху значения, мало отличающиеся от значений данных зависимостями (45). Этими зависимостями можно, впрочем, всегда пользоваться для определения каких-либо из шести постоянных 8 и у через другие, если они все ранее не были предметом специальных опытов.