§ 5. Примеры и дополнительные критерии

При выводе необходимых и достаточных условий попутно было установлено (§ 4), что если

,

то

и соответственно

,

т. е. этом случае максимальное отклонение частоты от вероятности остается большим даже при сколь угодно длинных выборках.

1. В примере 2 § 3 главы X было принято, что  – сегмент , система  состоит из всех множеств, каждое из которых является объединением конечного числа замкнутых сегментов с рациональными концами. Система  счетна. Было установлено, что

,

если только выборка не содержит повторений.

При любом непрерывном распределении выборка с вероятностью 1 не содержит повторений. Поэтому

и, следовательно, с вероятностью 1

(в действительности нетрудно убедиться, что в данном случае почти наверное ).

Таким образом, равномерной сходимости нет, несмотря на то, что система  содержит лишь счетное число событий.

2. В примере 3 § 3 главы X рассматриваются -мерное пространство  и система событий вида

при всевозможных  .

Нетрудно убедиться, что если точки  находятся в общем положении при , то

.

При любом непрерывном распределении, как известно, с вероятностью 1 выборка удовлетворяет условию общности положения. Поэтому при

и

с вероятностью 1. Таким образом, пока длина выборки меньше половины размерности пространства, максимальное уклонение частоты от вероятности остается большим.

3. Установим еще один критерий, который позволяет судить о наличии равномерной сходимости в тех случаях, когда достаточные условия не выполняются.

Теорема 11.2. Пусть в пространстве  заданы вероятностная мера  и система событий . Допустим, что для всякого  можно указать системы  и , удовлетворяющие условию равномерной сходимости, так что для всякого множества  найдутся множества  и  такие, что

и

, .

Тогда для системы  также имеет место равномерная сходимость частот к вероятностям (по вероятности).

Доказательство. В самом деле, пусть  и  – произвольные числа. Выберем такое , чтобы выполнялось

,

                       (11.25)

для всех .

Возьмем произвольное событие  и найдем для него события  и  такие, что  и

, .                  (11.26)

Тогда

.             (11.27)

Сопоставляя (11.25), (11.26) и (11.27), получаем, что

.

Теорема доказана.

4. Приведем два примера, где применяется этот критерий.

Пусть  – счетное множество, на котором задана вероятностная мера ,  – произвольная система подмножеств. Занумеруем каким-либо образом элементы . Поскольку

,

то по всякому  можно указать  такое, что

.

Обозначим конечное множество  через . В качестве системы  возьмем все подмножества , а в качестве  – все множества вида

,

где  произвольное подмножество .

При этом для каждого  можно указать  и , удовлетворяющие условию теоремы, а именно:

,

.

Поскольку системы  и  конечны, для них выполняется равномерная сходимость, а следовательно, она имеет место и для системы . Таким образом, если  – счетное множество, то равномерная сходимость частот к вероятностям имеет место всегда. При этом система  может быть такой, что . В этом случае скорость сходимости может быть сколь угодно низкой.

5. Рассмотрим еще один любопытный пример. Пусть  – двумерная плоскость, а система  состоит из всех выпуклых замкнутых множеств на плоскости. В этом случае

.

В самом деле, разместим  точек  на окружности (рис. 22).

Рис. 22.

Рассмотрим любую подпоследовательность  (на рисунке эти точки отмечены крестиками, а остальные – кружками). Вписанный замкнутый выпуклый многогранник с вершинами в точках , очевидно, содержит эти точки и не содержит никаких других из числа . Значит, система  индуцирует на  любую подвыборку:

и поэтому

.

Таким образом, в этом примере достаточные условия не выполнены.

Равномерная сходимость по классу событий  может выполняться или нет в зависимости от распределения. Например, если вероятностная мера сосредоточена на некоторой окружности и равномерно распределена по ней, то с вероятностью 1

,

как бы длинна ни была выборка.

В самом деле, с вероятностью 1 все точки выборки  лягут на окружность. Натянем на них выпуклую оболочку. Она представляет собой вписанный многогранник  с вершинами . Этот многогранник содержит все точки  и пересекается с окружностью на множестве меры нуль.

Если же вероятность равномерно распределена в некотором круге , то равномерная сходимость имеет место. Действительно, в этом случае достаточно рассмотреть систему , состоящую из выпуклых замкнутых множеств, целиком вкладывающихся в круг . Дело в том, что с вероятностью 1 все точки выборки лежат в круге. Поэтому для произвольного  и  оказывается

, .

В свою очередь  будет замкнутым выпуклым множеством и вкладывается в круг .

Таким образом, с вероятностью 1

.

Далее, элементарным построением можно показать, что по заданному  для всякого выпуклого множества из  можно найти вложенный в него и объемлющий его -сторонние многоугольники, так что их мера отличается не более чем на , причем число  можно зафиксировать для данного .

Следовательно, выполнены условия теоремы настоящего параграфа, так как для систем , , состоящих из выпуклых многоугольников с фиксированным числом сторон, равномерная сходимость установлена (пример 5 § 8 главы X).

Значит, равномерная сходимость имеет место при исследуемом распределении и для произвольных выпуклых множеств.

Отметим, что во всех рассмотренных ранее примерах непрерывное распределение было наиболее неблагоприятным, а в данном случае ситуация обратная.