§ 2. Оценка равномерного относительного уклонения частот в двух полувыборках

Схема вывода оценок относительного уклонения частот событий от их вероятностей остается той же, что и в главе X. Но теперь сначала получим оценку относительного уклонения в двух полувыборках, а затем применим ее для оценки максимального по классу относительного уклонения частоты от вероятности.

Теорема 12.1. Пусть задана система событий  и ее функция роста . В серии независимых испытаний получена выборка  и для каждого события  подсчитаны частоты  выпадения этого события в полувыборке        ,  выпадения события  в полувыборке  и  выпадения этого события на всей выборке . Справедлива оценка:

.    (12.2)

Доказательство. Точно так же как при доказательстве теоремы 10.2, сведем дело к рассмотрению относительного уклонения частот для одного фиксированного события.

Обозначим через  величину

.

Тогда оцениваемая вероятность равна

,

где

Рассмотрим опять всевозможные перестановки  последовательности . Тогда

.                    (12.3)

Далее исследуется подынтегральное выражение. Теперь, так как выборка фиксирована, можно вместо  рассматривать конечную систему , куда входят по одному представителю из каждого класса эквивалентности. Таким образом,

.                     (12.4)

Выражение в фигурных скобках и есть вероятность уклонения частот в двух полувыборках для фиксированного события  для данного состава полной выборки.

Оно равно

,

где  – число выпадений событий  в полной выборке, а  – число выпадения событий в первой полувыборке. Оно пробегает значения, удовлетворяющие неравенствам

,

.

Обозначим через  величину

.

Теперь можно воспользоваться неравенством (П.5), выведенным в приложении к главе X:

.

Подставляя сюда значение , получим

(отметим, что эта оценка слабо зависит от , что и означает «равноправие» событий).

Правая часть неравенства достигает максимума при  или . Поэтому

,

откуда при , учитывая, что всегда ,

.

Возвращаясь теперь к (12.4), получаем

.

Переходя к (12.2), получаем искомую оценку. Теорема доказана.

Замечание. Точно так же можно получить оценку

.                     (12.5)

Отличие состоит лишь в том, что теперь

.

Подставляя эту величину в (П. 5), получаем

.

Первая часть неравенства достигает максимума при , откуда

и, далее, при , учитывая, что всегда ,

.

Далее, повторяя рассуждения теоремы 12.1, получаем требуемую оценку.